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Beweis mit Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Mi 11.01.2006
Autor: Lee1601

Aufgabe
2) seien A,B aus K^nxn, sodass AB=BA. Dann gilt für l aus N:

[mm] (A+B)^l [/mm] = summe (von i=0 bis l) aller
(l über i * [mm] A^i*B^l-i [/mm]

(hinweis:benutzen sie, dass gilt: (l-1 über i-1)+(l-1 über i) = (l über i)


das muss doch mit induktion gehen oder? aber wie? und wie wende ich den hinweis an?




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt



        
Bezug
Beweis mit Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Mi 11.01.2006
Autor: Hanno

Hallo.

Die Aussage gilt für zwei beliebige Elemente [mm] $a,b\in [/mm] R$ eines Ringes $R$, die miteinander kommutieren, für die also $ab=ba$ gilt.

Ein Beweis ohne Induktion benötigt nur einige einfache kombinatorische Überlegungen:
Beim Ausmultiplizieren von [mm] $(a+b)^l=(a+b)(a+b)...(a+b)$ [/mm] wählst du aus den $l$ Klammern stets entweder $a$ oder $b$ aus und erhältst wegen $ab=ba$ stets einen Summanden der Form [mm] $a^i b^{n-i}$. [/mm] Was zu klären ist, ist die Frage, wie oft du beim Ausmultiplizieren für ein festes $i$ aus [mm] $\{0,1,2,...,l\}$ [/mm] den Summanden [mm] $a^i b^{n-i}$ [/mm] erhältst. Um einen solchen Summanden zu erhalten, musst du in $i$ der $l$ Klammern $a$ wählen, in den übrigen $b$. Für die Wahl dieser $i$ Klammern gibt es [mm] $\vektor{l\\ i}$ [/mm] Möglichkeiten. Damit tritt der Summand [mm] $a^i b^{n-i}$ [/mm] genau [mm] $\vektor{l\\ i}$ [/mm] Mal auf und wir erhalten [mm] $(a+b)^l [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{l} \vektor{l\\ i} a^{i} b^{l-i}$. [/mm]

Nun zum Beweis durch Induktion, den ich nur beginne:
Nehmen wir an, wir haben bereits bewiesen, dass [mm] $(a+b)^l [/mm] = [mm] \sum \vektor{l\\ i} a^i b^{l-i}$. [/mm] Dann ist [mm] $(a+b)^{l+1} [/mm] = [mm] (a+b)^l\cdot (a+b)=\left(\sum_{i=0}^{l} \vektor{l\\ i} a^i b^{l-i}\right)(a+b)=\sum_{i=0}^{l} \vektor{l\\ i} a^{i+1} b^{n-i}+\sum_{i=0}^{l} \vektor{l\\ i} a^i b^{l-i+1}$. [/mm] Nun musst du versuchen, diese Summen zusammenzufassen und den Hinweis anzuwenden. Versuch's mal.


Grüße,
Hanno

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