Beweis mit Potenzmenge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Di 05.06.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] M [/mm] eine Menge uns sei [mm] P(M) [/mm] eine Potenzmenge von [mm] M [/mm].
Sei [mm] f:=P(M) \to P(M) [/mm] definiert durch [mm] f(U) = M \setminus U [/mm] für alle [mm] U \in P(M) [/mm].
Beweisen Sie:
1. Für alle [mm] U,V \in P(M) [/mm] mit [mm] U \subseteq V [/mm] gilt [mm] f(V) \subseteq f(U) [/mm].
2. Es gilt [mm] f \circ f = id_P_(_M_) [/mm] . |
Ich habe die Lösung bereits, verstehe sie aber nicht.
Dort steht:
Es sind [mm] f(U)= M \setminus U [/mm] und [mm] f(V)= M \setminus V [/mm].
Zu zeigen ist [mm] M \setminus V \subseteq M \setminus U [/mm].
1. Warum kann man denn so von [mm] f(U) [/mm] auf [mm] f(V) [/mm] schliessen ?
2. Wie kann ich mir denn so eine Abbildung vorstellen, geht das z.B. so:
M = [mm] \{1,2,3\}, [/mm] P(M)=[mm]\{\emptyset, 1,2,3,12,13,23,123\}[/mm]
Wenn U = [mm] \{1, 12, 13\} [/mm] wäre, dann müsste f(U) = [mm] \{2,3\} [/mm] sein - stimmt das ?
3. (Für den 2.Beweis muss ich vielleicht das Obere verstehen)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Di 05.06.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Susanne!
> Sei [mm]M[/mm] eine Menge und sei [mm]P(M)[/mm] eine Potenzmenge von [mm]M [/mm].
Es muß heißen: die Potenzmenge, es gibt zu jedem M nur eine.
> Sei
> [mm]f:=P(M) \to P(M)[/mm] definiert durch [mm]f(U) = M \setminus U[/mm] für
> alle [mm]U \in P(M) [/mm].
> Beweisen Sie:
> 1. Für alle [mm]U,V \in P(M)[/mm] mit [mm]U \subseteq V[/mm] gilt [mm]f(V) \subseteq f(U) [/mm].
>
> 2. Es gilt [mm]f \circ f = id_P_(_M_)[/mm] .
> Ich habe die Lösung bereits, verstehe sie aber nicht.
> Dort steht:
> Es sind [mm]f(U)= M \setminus U[/mm] und [mm]f(V)= M \setminus V [/mm].
> Zu
> zeigen ist [mm]M \setminus V \subseteq M \setminus U [/mm].
>
> 1. Warum kann man denn so von [mm]f(U)[/mm] auf [mm]f(V)[/mm] schliessen ?
Weil man über U und V etwas voraussetzt. Anschauliche Argumentation (die du aber für einen korrekten Beweistext so nicht übernehmen darfst): Wenn V größer ist als U, dann nehme ich bei M [mm] \setminus [/mm] V mehr aus M raus als bei M [mm] \setminus [/mm] U, also ist M [mm] \setminus [/mm] V kleiner als M [mm] \setminus [/mm] U. Hinschreiben mußt du das korrekt mit den Mengen und ihren Definitionen!
> 2. Wie kann ich mir denn so eine Abbildung vorstellen,
> geht das z.B. so:
> M = [mm]\{1,2,3\},[/mm] P(M)=[mm]\{\emptyset, 1,2,3,12,13,23,123\}[/mm]
Das sollte man im vorprofessionellen Stadium so nicht hinschreiben oder jedenfalls nur auf Schmierzetteln. Es muß heißen
P(M)=[mm]\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}[/mm]
>
> Wenn U = [mm]\{1, 12, 13\}[/mm] wäre, dann müsste f(U) = [mm]\{2,3\}[/mm]
> sein - stimmt das ?
Nein! In deiner falschen, aber schnellen Schreibweise ist f(U) = [mm]\{\emptyset,2,3,23,123\}[/mm]. f(U) muß 5 Elemente haben!
Das war Murks, aber ich habe eine gute Entschuldigung, die ich hier nicht hinschreibe. Richtig muß es heißen: Dieses U geht nicht, weil U [mm] \in [/mm] P(M) sein muß. Dein U soll eine Untermenge von P(M) sein!
> 3. (Für den 2.Beweis muss ich vielleicht das Obere
> verstehen)
Mag sein, kann jedenfalls nicht schaden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Di 05.06.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
erstmal vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
> Es muß heißen: die Potenzmenge, es gibt zu jedem M nur
> eine.
Stimmt ! Steht auch so in der Aufgabe.
> > Wenn U = [mm]\{1, 12, 13\}[/mm] wäre, dann müsste f(U) = [mm]\{2,3\}[/mm]
> > sein - stimmt das ?
>
> Nein! In deiner falschen, aber schnellen Schreibweise ist
> f(U) = [mm]\{\emptyset,2,3,23,123\}[/mm]. f(U) muß 5 Elemente
> haben!
Das verstehe ich nicht. Die Abbildung ist doch M ohne U, und da M nur aus den Elementen 1, 2, 3 besteht, kann doch M ohne U nicht aus 5 Elementen bestehen ?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 05.06.2007 | | Autor: | statler |
Hi Susanne!
> > Es muß heißen: die Potenzmenge, es gibt zu jedem M nur
> > eine.
> Stimmt ! Steht auch so in der Aufgabe.
>
> > > Wenn U = [mm]\{1, 12, 13\}[/mm] wäre, dann müsste f(U) = [mm]\{2,3\}[/mm]
> > > sein - stimmt das ?
> >
> > Nein! In deiner falschen, aber schnellen Schreibweise ist
> > f(U) = [mm]\{\emptyset,2,3,23,123\}[/mm]. f(U) muß 5 Elemente
> > haben!
>
> Das verstehe ich nicht. Die Abbildung ist doch M ohne U,
> und da M nur aus den Elementen 1, 2, 3 besteht, kann doch M
> ohne U nicht aus 5 Elementen bestehen ?
Oh wie peinlich, ich hab da Bockmist gemacht! Wo kommt denn U her? U soll doch eine Teilmenge von M sein (sonst wäre Teil b) nicht richtig). Dein U ist das aber überhaupt nicht, dein U ist eine falsch geschriebene Teilmenge von P(M). Also wäre U = {1} mit f(U) = {2, 3} (und dann übrigens f(f(U)) = U) ein Beispiel.
Meinen Krempel oben korrigiere ich dementsprechend.
Gruß
Dieter
>
> LG, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 05.06.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter
tut mir leid, dass ich mich so spät melde - ich musste leider weg.
Vielen Dank für Deine Erklärung.
Wenn ich das jetzt richtig verstehe, kann U nur eine der 8 Mengen aus der Potenzmenge sein - stimmt das ?
Was ich leider auch immer noch nicht verstehe ist, warum man aus [mm] f(U) = M \setminus U [/mm]schliessen kann, dass [mm] f(V) = M \setminus V [/mm] ist, wenn [mm] U \subseteq V [/mm] ist ?
LG, Susanne.
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Hallo Susanne
>Wenn ich das jetzt richtig verstehe, kann U nur eine der 8
> Mengen aus der Potenzmenge sein - stimmt das ?
Das hast du richtig erkannt. U muss eine Teilmenge von M sein und somit ein Element von P(M).
> Was ich leider auch immer noch nicht verstehe ist, warum
> man aus [mm]f(U) = M \setminus U [/mm]schliessen kann, dass [mm]f(V) = M \setminus V[/mm]
> ist, wenn [mm]U \subseteq V[/mm] ist ?
Das schliesst du nicht, sondern das ist die Definition der Funktion:
Du hast zwei Teilmengen U,V von M, dann gilt nach der Definition der Funktion:
[mm]f(U) = M \setminus U[/mm]
[mm]f(V) = M \setminus V[/mm]
Du sollst nun schliessen, daß aus [mm]U \subseteq V[/mm] folgt, daß [mm]f(V) \subseteq f(U)[/mm] ist.
Die zweite Teilaufgabe ist nicht so schwer, wenn du verstehst,was [mm]M \setminus U [/mm] ist:
[mm]M \setminus U = \{x| x \in M \wedge x \not\in U\}[/mm]
Oder in Worten: Das sind alle Elemente x aus M, für die gilt, x ist in M UND x ist NICHT in U.
Was ist dann f(f(U)) ?
Gruß,
Gono.
>
> LG, Susanne.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 06.06.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Gono,
vielen Dank für deine Hilfe !
> Du hast zwei Teilmengen U,V von M, dann gilt nach der
> Definition der Funktion:
>
> [mm]f(U) = M \setminus U[/mm]
>
> [mm]f(V) = M \setminus V[/mm]
puh, das habe ich jetzt verstanden - danke !
> Was ist dann f(f(U)) ?
Ich fürchte, dass f(f(U) = U sein soll, verstehe aber nicht warum.
Wenn ich folgendes Beispiel mache:
[mm] M=\{1,2,3,4\}
[/mm]
[mm] U=\{1,2\}
[/mm]
f(u)=u+2
f(1)=3, f(2)=4
[mm] f(U)=\{3,4\} [/mm] = M ohne U
Wenn ich darauf wieder f anwende erhalte ich doch
f(3)=5 und f(4)=6 und nicht 1 und 2 - wo stehe ich auf der Leitung ?
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mi 06.06.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Susanne!
> Hallo Gono,
> vielen Dank für deine Hilfe !
>
> > Du hast zwei Teilmengen U,V von M, dann gilt nach der
> > Definition der Funktion:
> >
> > [mm]f(U) = M \setminus U[/mm]
> >
> > [mm]f(V) = M \setminus V[/mm]
>
> puh, das habe ich jetzt verstanden - danke !
>
> > Was ist dann f(f(U)) ?
> Ich fürchte, dass f(f(U) = U sein soll, verstehe aber
> nicht warum.
Fürchten mußt du dich deswegen nicht!
> Wenn ich folgendes Beispiel mache:
> [mm]M=\{1,2,3,4\}[/mm]
> [mm]U=\{1,2\}[/mm]
> f(u)=u+2
So geht das nicht! f steht fest: Für dieses U ist f(U) = M [mm] \setminus [/mm] U = {1, 2, 3, 4} [mm] \setminus [/mm] {1, 2} = {3, 4}
Und das Argument von f ist eine Menge!
> f(1)=3, f(2)=4
> [mm]f(U)=\{3,4\}[/mm] = M ohne U
> Wenn ich darauf wieder f anwende erhalte ich doch
> f(3)=5 und f(4)=6 und nicht 1 und 2 - wo stehe ich auf der
> Leitung ?
Gute Frage! Ich befürchte fast, daß dir nicht in voller Schönheit klar ist, was eine Abbildung ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mi 06.06.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
> So geht das nicht! f steht fest: Für dieses U ist f(U) = M
> [mm]\setminus[/mm] U = {1, 2, 3, 4} [mm]\setminus[/mm] {1, 2} = {3, 4}
> Und das Argument von f ist eine Menge!
Ah, vielen Dank - das hatte ich nicht beachtet !
Verstehe ich das dann richtig...
f(f(U)) = [mm] f(M\setminus [/mm] U) = M [mm] \setminus (M\setminus [/mm] U)
dass man zu f sagen könnte,
f bildet immer eine Menge auf M ohne diese Menge ab ?
Gruss nach HH-Harburg, Susanne.
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Hiho,
ja, genau das macht f. Die Teilmenge U wird auf die Teilmenge [mm] M\setminus [/mm] U abgebildet.
Ist die jetzt (erstmal) anschaulich klar, daß aus U [mm] \subseteq [/mm] V folgt, daß f(V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) ist?
Ich hatte dir ja bereits geschrieben, was [mm] M\setminus [/mm] U ausgeschrieben, was ist nach dieser Definition dann [mm] M\setminus (M\setminus [/mm] U) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Mi 06.06.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Gono,
> Ist die jetzt (erstmal) anschaulich klar, daß aus U
> [mm]\subseteq[/mm] V folgt, daß f(V) [mm]\subseteq[/mm] f(U) ist?
ja, vielen Dank !
> Ich hatte dir ja bereits geschrieben, was [mm]M\setminus[/mm] U
> ausgeschrieben, was ist nach dieser Definition dann
> [mm]M\setminus (M\setminus[/mm] U) ?
Wenn ich von M alles wegnehme ausser U, bleibt U übrig.
Ich denke, ich habe es jetzt dank eurer Hilfe verstanden.
VIELEN DANK !
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