Beweis mit Satz von Liouville < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Di 19.08.2008 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Für die ganze Funktion f gelte |Re [mm] f(z)|\leM [/mm] für alle komplexen z. Zeige: f ist konstant. |
Hallo zusammen!
Ich habe hier zu dieser Aufgabe eine Musterlösung, zu der ich ein paar Fragen habe.
Hier erstmal die Lösung. Ich nummeriere die einzelnen Schritte mal durch, um gleich besser darauf eingehen zu können.
Lösung
1) [mm] |e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))}*|e^{i*Im(f(z))}|=e^{Re(f(z))}*1=e^{Re(f(z))}
[/mm]
2) [mm] \Rightarrow e^{f(z)} [/mm] beschränkt und ganz
3) [mm] \Rightarrow [/mm] Liouville: [mm] e^{f(z)} [/mm] konstant
4) [mm] \Rightarrow [/mm] f konstant
Fragen
zu 1)
Erstmal zu der generellen Beweisidee. Warum wird hier über die e-Funktion bewiesen? Und warum wird der Betrag davon betrachtet? Den Betrag könnt ich mir ja vielleicht noch erklären. Benutze ich ihn, weil ich eine Beschränktheit zeigen möchte? Und dann die alles entscheidende Frage: WIE komme ich darauf 
zu 2)
Ich weiß nun, dass [mm] |e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))}. [/mm] Wie komme ich nun auf die Folgerung, dass [mm] e^{f(z)} [/mm] beschränkt ist. Es hat mit Sicherheit was damit zu tun, dass |Re [mm] f(z)|\leM.
[/mm]
Kann man es so erklären: Wenn der Realteil beschränkt ist, dann heißt das doch, dass ich nicht alle Werte auf der reellen Achse benutzen kann. Wenn ich nicht alle Werte der reellen Achse benutzen kann, dann kann ich auch nicht alle Werte in die e-Funktion einsetzen. Damit kann ich die e-Funktion nur für eine gewisse Anzahl an Werten berechnen, und nicht für alle. Also ist auch die e-Funktion [mm] e^{Re(f(z))} [/mm] beschränkt. Kann man das so sagen?
Und da [mm] e^{Re(f(z))} [/mm] gleich ist zu [mm] |e^{f(z)}|, [/mm] ist dann auch [mm] |e^{f(z)}| [/mm] beschränkt. Und wenn der Betrag beschränkt ist, ist dann auch automatisch die Zahl im Betrag beschränkt?
Das die e-Funktion eine ganze Funktion ist, ist klar. Und Schritt 3) auch. Einfach Satz von Liouville anwenden.
zu 4)
[mm] e^{f(z)} [/mm] kann doch nur konstant sein, wenn ich immer den gleichen Wert für f(z) einsetze. Also muss demnach f(z) auch konstant sein, oder?
Vielen Dank schonmal für's Antworten
LG, Nadine
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> Für die ganze Funktion f gelte |Re [mm]f(z)|\le M[/mm] für alle
> komplexen z. Zeige: f ist konstant.
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe hier zu dieser Aufgabe eine Musterlösung, zu der
> ich ein paar Fragen habe.
>
> Hier erstmal die Lösung. Ich nummeriere die einzelnen
> Schritte mal durch, um gleich besser darauf eingehen zu
> können.
>
> Lösung
>
> 1)
> [mm]|e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))}*|e^{i*Im(f(z))}|=e^{Re(f(z))}*1=e^{Re(f(z))}[/mm]
>
> 2) [mm]\Rightarrow e^{f(z)}[/mm] beschränkt und ganz
>
> 3) [mm]\Rightarrow[/mm] Liouville: [mm]e^{f(z)}[/mm] konstant
>
> 4) [mm]\Rightarrow[/mm] f konstant
>
>
>
> Fragen
>
> zu 1)
> Erstmal zu der generellen Beweisidee. Warum wird hier über
> die e-Funktion bewiesen?
Weil man, wie Du siehst, auf diesem Wege die Beschränktheit von [mm] $|\mathrm{Re}f(z)|$ [/mm] zum Beweis der Beschränktheit der auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorphen (=ganzen) Funktion [mm] $\mathrm{e}^{f(z)}$ [/mm] verwenden kann.
Wenn Du einen direkten Weg kennst, die Beschränktheit von $f(z)$ zu zeigen, dann ist das ok - aber ich fürchte, Du kennst keinen solchen Weg (problematisch ist ja, dass sowohl der beschränkte Realteil als auch der Imaginärteil von $f(z)$ einen Einfluss auf $|f(z)|$ haben, für den Imaginärteil von $f(z)$ gibt uns der Aufgabentext aber keine Schranke).
> Und warum wird der Betrag davon betrachtet?
Weil eben [mm] $|\mathrm{e}^{f(z)}|=|\mathrm{e}^{\mathrm{Re}f(z)}|\leq \mathrm{e}^M<\infty$ [/mm] ist und somit der Satz von Liouville erlaubt, auf Konstanz von [mm] $\mathrm{e}^{f(z)}$ [/mm] zu schliessen.
> Den Betrag könnt ich mir ja vielleicht noch
> erklären. Benutze ich ihn, weil ich eine Beschränktheit
> zeigen möchte?
Ja klar. Wie willst Du sonst den Satz von Liouville ins Spiel bringen?
> Und dann die alles entscheidende Frage: WIE
> komme ich darauf
Eines der grossen ungelösten Probleme der Neurowissenschaften 
Aber: wenn man dies einmal gesehen hat, kann man auch ohne jede Genialität nochmals auf dieselbe (Grund-)Idee kommen.
Um die Erinnerung an diesen Trick zu vertiefen, kannst Du ja versuchen, die Aufgabenstellung zu variieren und zu schauen, ob und inwiefern derselbe Trick (oder eine triviale Variation davon) noch anwendbar ist. Wie würdest Du z.B. vorgehen, wenn die Beschränktheit des Imaginärteils von $f$, d.h. [mm] $|\mathrm{Im}f(z)|\leq [/mm] M$, gegeben wäre?
> zu 2)
> Ich weiß nun, dass [mm]|e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))}.[/mm] Wie komme ich
> nun auf die Folgerung, dass [mm]e^{f(z)}[/mm] beschränkt ist. Es hat
> mit Sicherheit was damit zu tun, dass |Re [mm]f(z)|\le M.[/mm]
Aber sicher schon. [mm] $\IR\ni x\rightarrow e^x\in \IR$ [/mm] ist ja streng monoton wachsend (und immer $>0$) daher folgt aus [mm] $|\mathrm{Re}f(z)|\leq [/mm] M$, dass
[mm]0\leq |\mathrm{e}^{\mathrm{Re}f(z)}|\leq \mathrm{e}^{|\mathrm{Re}f(z)|}\leq \mathrm{e}^M <\infty[/mm]
>
> Kann man es so erklären: Wenn der Realteil beschränkt ist,
> dann heißt das doch, dass ich nicht alle Werte auf der
> reellen Achse benutzen kann.
Was heisst hier "benutzen". Du bist ja nicht die Funktion! - Aber gut: das Bild von [mm] $\IC$ [/mm] unter $f$ ist in der Richtung der reellen Achse beschränkt: [mm] $f(\IC)\subseteq \; \{w\in\IC\,\mid\, -M\leq \matrm{Re}(w)\leq +M\}$.
[/mm]
> Wenn ich nicht alle Werte der
> reellen Achse benutzen kann, dann kann ich auch nicht alle
> Werte in die e-Funktion einsetzen.
Ach nein, das siehst Du ganz falsch: der Definitionsbereich von $f$ darf gar nicht beschränkt sein, d.h. er muss ganz [mm] $\IC$ [/mm] sein, sonst wäre der Satz von Liouville, der nur eine Aussage über ganze (d.h. auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorphe) Funktionen macht, gar nicht anwendbar.
Aber gut, ich verstehe wohl nicht so recht, was Du hier gerade so laut denkst. Natürlich: das Bild [mm] $f(\IC)$ [/mm] von [mm] $\IC$ [/mm] unter $f$ ist nicht ganz [mm] $\IC$ [/mm] und daher kann bei der Zusammensetzung von $f$ und der Exponentialfunktion für die äussere (Exponential-)Funktion nicht mehr ein beliebiges Argument aus [mm] $\IC$ [/mm] auftreten. Aus diesem Grund funktioniert ja die obige Abschätzung von [mm] $|\mathrm{e}^{f(z)}|$ [/mm] durch [mm] $\mathrm{e}^M$.
[/mm]
> Damit kann ich die
> e-Funktion nur für eine gewisse Anzahl an Werten berechnen,
> und nicht für alle. Also ist auch die e-Funktion
> [mm]e^{Re(f(z))}[/mm] beschränkt. Kann man das so sagen?
Ja, dies zeigt der Beweis (siehe oben).
> Und da [mm]e^{Re(f(z))}[/mm] gleich ist zu [mm]|e^{f(z)}|,[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist dann auch [mm]|e^{f(z)}|[/mm] beschränkt.
> Und wenn der Betrag beschränkt ist,
> ist dann auch automatisch die Zahl im Betrag beschränkt?
Zu sagen, dass eine Funktion, sagen wir $g(z)$ beschränkt ist, besagt definitionsgemäss, dass es eine Schranke [mm] $M\in \IR$ [/mm] gibt, so dass [mm] $|g(z)|\leq [/mm] M$ für alle $z$ aus dem Definitionsbereich von $g$. Beschränktheit besagt immer nur, dass der Betrag (oder die Norm u.Ä.) beschränkt ist.
"Folgt automatisch" heisst hier also genauer: "folgt definitionsgemäss".
> Das die e-Funktion eine ganze Funktion ist, ist klar.
Gut, aber für die Anwendung des Satzes von Liouville im obigen Beweis genügt das Ganzsein von [mm] $z\mapsto \mathrm{e}^z$ [/mm] naürlich nicht. Was Du brauchst ist, dass die Funktion [mm] $z\mapsto \mathrm{e}^{f(z)}$ [/mm] ganz ist.
> Und
> Schritt 3) auch. Einfach Satz von Liouville anwenden.
>
> zu 4)
> [mm]e^{f(z)}[/mm] kann doch nur konstant sein, wenn ich immer den
> gleichen Wert für f(z) einsetze. Also muss demnach f(z)
> auch konstant sein, oder?
Den Beweis für die Konstanz von [mm] $\mathrm{e}^{f(z)}$ [/mm] scheinst Du akzeptiert zu haben. Sei also [mm] $w\in\IC$ [/mm] und gelte für alle [mm] $z\in \IC$, [/mm] dass [mm] $\mathrm{e}^{f(z)}=w$. [/mm] Das verbleibende Problem ist, ob daraus auch wirklich die Konstanz von $f(z)$ folgt.
Man kann sicher sagen, dass daraus die Konstanz des Realteils von $f(z)$ folgt, weil ja [mm] $\mathrm{e}^{\mathrm{Re}f(z)}=|w|$ [/mm] ist und der reelle Logarithmus hier auf einen eindeutigen Wert von [mm] $\mathrm{Re}f(z)$ [/mm] zu schliessen erlaubt. Weniger klar ist, ob auch die Konstanz des Imaginärteils von $f(z)$ folgt, denn es ist ja auch [mm] $\mathrm{e}^{f(z)+\mathrm{i} \cdot 2n\pi}=w$, $n\in\IZ$.
[/mm]
Dies scheint mir in der Tat eine kleine Lücke des Beweises zu sein. Ich denke, dass die Konstanz des Imaginärteils von $f(z)$ folgt, weil [mm] $\mathrm{Im}f(z)$ [/mm] stetig ist und daher seinen Wert nicht in diskreten Sprüngen der Länge [mm] $\mathrm{i} \cdot 2n\pi$ [/mm] ändern kann.
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