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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:19 Fr 16.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Betrachte das Randwertproblem
x''(t)+g(x(t))=0, x(0)=x(1)=0,
wobei g [mm] \in C^1(\IR) [/mm] sei. Die Shooting-Methode zur Lösung solcher Randwertprobleme besteht darin, das entsprechende Anfangswertproblem mit x(0)=0 und x'(0)=a zu lösen, und dann eine Nullstelle der Abbildung f [mm] \in C^1(\IR) [/mm] definiert durch f(a)=x(1,a) zu suchen. Dabei bezeichnet x(t,a) die Lösung des Anfangswertproblems. Beweisen Sie mit dieser Methode einen Existenzsatz im Fall |g(x)| [mm] \le [/mm] M für alle x [mm] \in \IR [/mm] |
Ich habe die Aufgabe erstmal wie folgt umgeformt:
x'(t)=v(t) v(0)=a
v'(t)=-g(x(t)) x(0)=0
Ich habe bereits folgendes versucht:
[mm] \bruch{x'}{v'}=\bruch{v}{-g(x)} \gdw [/mm] v'*v=-x'*g(x), also:
[mm] \int_{0}^{t} v'(s)*v(s)\, ds=-\int_{0}^{t} x'(s)*g(x(s))\, [/mm] ds
[mm] \int_{a}^{v(t)} r\, dr=-\int_{0}^{x(t)} g(r)\, [/mm] dr
[mm] \left( \bruch{1}{2} \right)(v(t)^2-a^2)=-G(x(t))+G(0)
[/mm]
[mm] v(t)=\wurzel{-2G(x(t))+2G(0)+a^2}
[/mm]
Für t=0 komme ich auch auf v(0)=a, also dürfte ich mich bis jetzt noch nicht verrechnet haben.
Jetzt müsste ich weiter integrieren, um zu x(t) zu kommen, doch wie mache ich das?
[mm] u(t)=\int_{0}^{t} \wurzel{-2G(x(s))+2G(0)+a^2}\, [/mm] ds=?
Ich kann weder meine Konstante [mm] 2G(0)+a^2 [/mm] noch meine Funktion G(x(s)) näher bestimmen. Was muss ich tun?
Gruß DerGraf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 20.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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