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Beweis mit Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Mo 26.10.2009
Autor: S11m00n

Aufgabe
Seien x und y reelle Zahlen, und sei n [mm]in[/mm] [mm]IN[/mm]. Zeige, dass gilt:

[mm]y^n[/mm]-[mm]x^n[/mm]=(y-x)*[mm]\summe_{i=0}^{N-1} y^i*x^{n-1-i} [/mm]

Hallo,

ich sitze schon seit ca. 4 Stunden vor der gegebenen Aufgabe.
Eigentlich hatte ich vor das Ganze mit Vollständiger Induktion zu lösen. Eine kleine Nachfrage beim Professor hat jedoch ergeben, dass dieser Lösungsweg leider ins Leere führt.

Ich wäre für wirklich jeden Ansatz der mich weiterbringt äußerst dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Danke schonmal

        
Bezug
Beweis mit Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Mo 26.10.2009
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

Schau duch mal im Induktionsforum um, da findest du diese Aufgabe schon öfter, u.a. hier

Marius

Bezug
        
Bezug
Beweis mit Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Mo 26.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Seien x und y reelle Zahlen, und sei n [mm]in[/mm] [mm]\IN[/mm]. Zeige, dass
> gilt:
>  
> [mm]y^n[/mm]-[mm]x^n[/mm]=(y-x)*[mm]\summe_{i=0}^{\red{N}-1} y^i*x^{n-1-i}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich sitze schon seit ca. 4 Stunden vor der gegebenen
> Aufgabe.
> Eigentlich hatte ich vor das Ganze mit Vollständiger
> Induktion zu lösen. Eine kleine Nachfrage beim Professor
> hat jedoch ergeben, dass dieser Lösungsweg leider ins
> Leere führt.


Hallo Simon,

dass vollständige Induktion "ins Leere" führen würde,
glaube ich zwar nicht, aber jedenfalls geht es viel
einfacher. Wende einfach rechts das Distributivgesetz
an:  $\ (y-x)*S\ =\ y*S-x*S$ , multipliziere aus (wieder
Distributivgesetz) und schau, was du dann hast.
Z.B. könntest du auch einmal die Summe etwa für n=4
oder n=5 komplett ausschreiben. Übrigens müssen alle
n identisch sein (also kein großes N !)

LG

Bezug
        
Bezug
Beweis mit Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Mo 26.10.2009
Autor: fred97


> Seien x und y reelle Zahlen, und sei n [mm]in[/mm] [mm]IN[/mm]. Zeige, dass
> gilt:
>  
> [mm]y^n[/mm]-[mm]x^n[/mm]=(y-x)*[mm]\summe_{i=0}^{N-1} y^i*x^{n-1-i}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich sitze schon seit ca. 4 Stunden vor der gegebenen
> Aufgabe.
> Eigentlich hatte ich vor das Ganze mit Vollständiger
> Induktion zu lösen. Eine kleine Nachfrage beim Professor
> hat jedoch ergeben, dass dieser Lösungsweg leider ins
> Leere führt.

Da irrt der Professor !

https://matheraum.de/read?i=604435


FRED


>  
> Ich wäre für wirklich jeden Ansatz der mich weiterbringt
> äußerst dankbar.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Danke schonmal  


Bezug
                
Bezug
Beweis mit Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Mo 26.10.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> > Eigentlich hatte ich vor das Ganze mit vollständiger
> > Induktion zu lösen. Eine kleine Nachfrage beim Professor
> > hat jedoch ergeben, dass dieser Lösungsweg leider ins
> > Leere führt.
>  
> Da irrt der Professor !

Ja, falls er es wirklich so gesagt hat.
Aber schlichtes Ausmultiplizieren ist eh einfacher
als ein Induktionsbeweis.

LG   Al

Bezug
        
Bezug
Beweis mit Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Mo 26.10.2009
Autor: fred97

Al hat ja schon gesagt, wie es am einfachsten geht.

Noch ein Vorschlag: für x=y ist alles klar. Sei also x [mm] \not= [/mm] y . Dann können wir x [mm] \not= [/mm] 0 annehmen und setzen $q=y/x$. Dann läuft es auf die bekannte Formel

       (*)     [mm] $\summe_{i=0}^{n}q^i [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]

(*) lässt sich nun relativ bequem induktiv beweisen

FRED

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