Beweis mit Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mo 26.10.2009 | | Autor: | S11m00n |
| Aufgabe | Seien x und y reelle Zahlen, und sei n [mm]in[/mm] [mm]IN[/mm]. Zeige, dass gilt:
[mm]y^n[/mm]-[mm]x^n[/mm]=(y-x)*[mm]\summe_{i=0}^{N-1} y^i*x^{n-1-i} [/mm] |
Hallo,
ich sitze schon seit ca. 4 Stunden vor der gegebenen Aufgabe.
Eigentlich hatte ich vor das Ganze mit Vollständiger Induktion zu lösen. Eine kleine Nachfrage beim Professor hat jedoch ergeben, dass dieser Lösungsweg leider ins Leere führt.
Ich wäre für wirklich jeden Ansatz der mich weiterbringt äußerst dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 26.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schau duch mal im Induktionsforum um, da findest du diese Aufgabe schon öfter, u.a. hier
Marius
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> Seien x und y reelle Zahlen, und sei n [mm]in[/mm] [mm]\IN[/mm]. Zeige, dass
> gilt:
>
> [mm]y^n[/mm]-[mm]x^n[/mm]=(y-x)*[mm]\summe_{i=0}^{\red{N}-1} y^i*x^{n-1-i}[/mm]
> Hallo,
>
> ich sitze schon seit ca. 4 Stunden vor der gegebenen
> Aufgabe.
> Eigentlich hatte ich vor das Ganze mit Vollständiger
> Induktion zu lösen. Eine kleine Nachfrage beim Professor
> hat jedoch ergeben, dass dieser Lösungsweg leider ins
> Leere führt.
Hallo Simon,
dass vollständige Induktion "ins Leere" führen würde,
glaube ich zwar nicht, aber jedenfalls geht es viel
einfacher. Wende einfach rechts das Distributivgesetz
an: $\ (y-x)*S\ =\ y*S-x*S$ , multipliziere aus (wieder
Distributivgesetz) und schau, was du dann hast.
Z.B. könntest du auch einmal die Summe etwa für n=4
oder n=5 komplett ausschreiben. Übrigens müssen alle
n identisch sein (also kein großes N !)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien x und y reelle Zahlen, und sei n [mm]in[/mm] [mm]IN[/mm]. Zeige, dass
> gilt:
>
> [mm]y^n[/mm]-[mm]x^n[/mm]=(y-x)*[mm]\summe_{i=0}^{N-1} y^i*x^{n-1-i}[/mm]
> Hallo,
>
> ich sitze schon seit ca. 4 Stunden vor der gegebenen
> Aufgabe.
> Eigentlich hatte ich vor das Ganze mit Vollständiger
> Induktion zu lösen. Eine kleine Nachfrage beim Professor
> hat jedoch ergeben, dass dieser Lösungsweg leider ins
> Leere führt.
Da irrt der Professor !
https://matheraum.de/read?i=604435
FRED
>
> Ich wäre für wirklich jeden Ansatz der mich weiterbringt
> äußerst dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Danke schonmal
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> > Eigentlich hatte ich vor das Ganze mit vollständiger
> > Induktion zu lösen. Eine kleine Nachfrage beim Professor
> > hat jedoch ergeben, dass dieser Lösungsweg leider ins
> > Leere führt.
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> Da irrt der Professor !
Ja, falls er es wirklich so gesagt hat.
Aber schlichtes Ausmultiplizieren ist eh einfacher
als ein Induktionsbeweis.
LG Al
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Al hat ja schon gesagt, wie es am einfachsten geht.
Noch ein Vorschlag: für x=y ist alles klar. Sei also x [mm] \not= [/mm] y . Dann können wir x [mm] \not= [/mm] 0 annehmen und setzen $q=y/x$. Dann läuft es auf die bekannte Formel
(*) [mm] $\summe_{i=0}^{n}q^i [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
(*) lässt sich nun relativ bequem induktiv beweisen
FRED
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