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Forum "Analysis des R1" - Beweis mit Ungleichung
Beweis mit Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis mit Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Fr 10.10.2008
Autor: SusanneK

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für alle positiven reellen Zahlen x und h mit [mm] h < 8x [/mm] die Ungleichungen
[mm] \wurzel{x}+\bruch{h}{2\wurzel{x}}-\bruch{h^2}{8x\wurzel{x}} < \wurzel{x+h} < \wurzel{x}+\bruch{h}{2\wurzel{x}} [/mm]
gelten.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo,
wenn ich jeden Teil auf einem Bruchstrich zusammenfasse und anschliessend mit [mm] 8x\wurzel{x} [/mm] multipliziere (darf ich das so einfach ?) , erhalte ich folgende Ungleichung:
[mm] 8x^2+4xh-h^2 < 8x\wurzel{x}\wurzel{x+h} < 8x^2+4xh [/mm]
Dass das Linke kleiner als das Rechte ist, erkennt man sofort, da links noch [mm] h^2 [/mm] abgezogen wird.
Wenn ich das Linke mit dem Mittleren vergleiche, erhalte ich durch Ausklammern
[mm] h(32x+h^2) < 8x(4x^2+h^2) [/mm]
Wie mache ich bei einem Beweis jetzt weiter ?
Kann ich sagen, da [mm] h<8x [/mm] gilt, muss [mm] (32x+h^2) \le (4x^2+h^2) [/mm] sein ?

Danke, Susanne.

        
Bezug
Beweis mit Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Fr 10.10.2008
Autor: pelzig

Link.

Bezug
                
Bezug
Beweis mit Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Fr 10.10.2008
Autor: SusanneK

Hallo Robert,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !

Leider kenne ich den Mittelwertsatz noch nicht, deshalb kann ich damit auch noch nicht argumentieren.

Danke, Susanne.

Bezug
                        
Bezug
Beweis mit Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Fr 10.10.2008
Autor: rainerS

Hallo Susanne!

Dann probiere es durch Quadrieren: da x und h positive reelle Zahlen sind, reicht es zu zeigen, dass

[mm] \wurzel{x+h}^2 < \left(\wurzel{x}+\bruch{h}{2\wurzel{x}}\right)^2 [/mm]

und das Analoge für die linke Hälfte gilt.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Beweis mit Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:31 Fr 10.10.2008
Autor: SusanneK

Ah, super Idee !

VIELEN VIELEN DANK Rainer !




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