Beweis mit surjektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien X, Y nicht-leere Mengen, und f : X -> Y eine Abbildung von X nach Y. prüfen sie nach, dass:
[f ist surjektiv] [mm] \gdw [\forall [/mm] B [mm] \in [/mm] P(Y), [mm] f(f^{-1}(B))=B] [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider nicht genau, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Mir ist klar das ich zwei richtungen beweisen muss.
wenn ich jetzt damit anfange;
[f ist surjektiv] [mm] \Rightarrow [\forall [/mm] B [mm] \in [/mm] P(Y), [mm] f(f^{-1}(B))=B]
[/mm]
und ich will jetzt einen Beweis durch Widerspruch machen,
dann kann ich doch annehmen, das f nicht surjektiv, dass heißt:
es gibt ein [mm] x_{1} \in [/mm] X für das es kein y [mm] \in [/mm] Y mit f(y)= x gibt.
aber da ja für [mm] f^{-1} [/mm] = {y [mm] \in Y:\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B, f(x)=y}gilt,
muss f surjektiv sein, sonst funktioniert das ja nicht.
kann man das so machen?
und wie zeige ich die Rückrichtung?
Bin dankbar für jede Hilfe.
MFG
Nathenatiker
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> Seien X, Y nicht-leere Mengen, und f : X -> Y eine
> Abbildung von X nach Y. prüfen sie nach, dass:
>
> [f ist surjektiv] [mm]\gdw [\forall[/mm] B [mm]\in[/mm] P(Y),
> [mm]f(f^{-1}(B))=B][/mm]
>
> Mir ist klar das ich zwei richtungen beweisen muss.
Hallo,
damit hast Du völlig recht.
> wenn ich jetzt damit anfange;
> [f ist surjektiv] [mm]\Rightarrow [\forall[/mm] B [mm]\in[/mm] P(Y),
> [mm]f(f^{-1}(B))=B][/mm]
Überlegen wir doch zunächst, was das überhaupt bedeutet:
Vorausgesetzt ist, daß f: X -->Y surjektiv ist, daß also auf jedes Element von Y (mindestens) eines aus x abgebildet wird.
Unter dieser Voraussetzung soll gezeigt werden, daß für jede beliebige Teilmenge B von Y das Bild f( [mm] f^{-1}(B)) [/mm] des Urbildes [mm] f^{-1}(B) [/mm] dieser Menge B die Menge B selbst ergibt.
Was ist das besondere an dieser Aussage?
Schauen wir uns mal eine Funktion g an, welche weder injektiv noch surjektiv ist:
g: [mm] X:=\{1,2\} \to Y:=\{a,b,c\} [/mm] mit
1 [mm] \to [/mm] a
2 [mm] \to [/mm] a
(Mal's Dir ruhig mal mit Punkten und Pfeilen auf. Man versteht so viel dabei und bekommt gute Ideen.)
Betrachten wir nun folgende Teilmenge von Y : [mm] B:=\{a,b\}.
[/mm]
Das Urbild von B ist [mm] g^{-1}(B)=\{1,2\}.
[/mm]
Das Bild des Urbildes [mm] g(g^{-1}(B))=g(\{1,2\})={a}. [/mm] Also nur eine Teilmenge von B und nicht B selber!
Dieser kleine Einschub kann uns anregen, uns etwas neu zu vergegenwärtigen, was uns eigentlich klar sein sollte:
[mm] f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B gilt für alle Funktionen f allein aufgrund der definition des Bildes und des Urbildes. Also nicht nur für die surjektiven!
Somit ist die interessante und wirklich zu beweisende Aussage
B [mm] \subseteq f(f^{-1}(B)).
[/mm]
Nun endlich kann' s losgehen.
Zu zeigen:
[f ist surjektiv] [mm]\Rightarrow [\forall[/mm] B [mm]\in[/mm] P(Y), [mm]f(f^{-1}(B))=B][/mm]
Beweis:
Sei surjektiv. Sei B [mm] \subseteq [/mm] Y.
z.z.: [mm] f(f^{-1}(B))=B, [/mm] d.h.
i) [mm] f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B und
ii) B [mm] \subseteq f(f^{-1}(B))
[/mm]
zu i) das gilt nach Def. von Bild und Urbild für jede Funktion f.
zu ii) Hierzu zeige ich, daß jedes y [mm] \in [/mm] B in [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] liegt.
Sei y [mm] \in [/mm] B.
Weil f surjektiv, gibt es ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y
Also ist x [mm] \in f^{-1}(B).
[/mm]
==> f(x)=y [mm] \in f(f^{-1}(B)), [/mm] womit die Behauptung bewiesen ist.
Die Rückrichtung versuch jetzt selber.
Ein Tip: die Aussage gilt für alle Teilmengen B von Y. Also auch für sämtliche Mengen [mm] \{y\} [/mm] mit y [mm] \in [/mm] Y.
Zum Schluß:
> und ich will jetzt einen Beweis durch Widerspruch machen,
> dann kann ich doch annehmen, das f nicht surjektiv, dass
> heißt:
Nein.
Nehmen wir folgende Behauptung:
es gilt A ==> es gilt B.
Das bedeutet, daß die Gültigkeit von B zwangsläufig aus A folgt.
Wenn wir hier einen Widerspruch provozieren wollen, müssen wir an B drehen, nicht an A. Denn A ist die Voraussetzung.
Ein Widerspruchsbeweis ginge so:
Angenommen es gilt A und es gilt nicht B. Das verwurstet man irgendwie bis zu einem Widerspruch. Aus diesem zieht man folgenden Schluß:
Das gleichzeitig A gilt und nicht B kann also nicht sein, denn man bekommt einen Widerspruch. Also muß unter der Voraussetzung, daß A gilt, B gelten.
Alle Klarheiten beseitigt?
Gruß v. Angela
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Hallo,
erstmal vielen vielen dank für deine Antwort, sie hat mir mehr als geholfen!!
Beim zweiten Teil würde ich jetzt mit einem Widerspruchsbeweis probieren:
Diesmal kann ich ja sagen, f sei nicht surjektiv, dass heißt:
es gibt ein $ [mm] x_{1} \in [/mm] $ X für das es kein y $ [mm] \in [/mm] $ Y mit f(y)= x gibt.
Jetzt reicht es doch schon, die definition vom Bild zu betrachten:
da heißt es ja, dass für y [mm] \in [/mm] Y : [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B, f(x)=y.
und da nach Definition vom Urbild gilt dass alle für alle x ein y existiert,
so dass gilt f(x)= y, ist der beweis doch schon fertig,oder?
kann man soas noch schöner aufschreiben?(falls es denn so überhaupt richtig ist)?
MFG
NAthenatiker
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Hallo Nathenatiker,
> Beim zweiten Teil würde ich jetzt mit einem
> Widerspruchsbeweis probieren:
> Diesmal kann ich ja sagen, f sei nicht surjektiv, dass
> heißt:
> es gibt ein [mm]x_{1} \in[/mm] X für das es kein y [mm]\in[/mm] Y mit f(y)=
> x gibt.
>
> Jetzt reicht es doch schon, die definition vom Bild zu
> betrachten:
> da heißt es ja, dass für y [mm]\in[/mm] Y : [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] B,
nein. B ist Teilmenge von Y, nicht von X!
> f(x)=y.
> und da nach Definition vom Urbild gilt dass alle für alle
> x ein y existiert,
> so dass gilt f(x)= y, ist der beweis doch schon
> fertig,oder?
Nöö, leider nicht :-(.
Nochmal ganz langsam:
Voraussetzung (für die Rückrichtung): Ist B *irgendeine* nichtleere Teilmenge von Y, dann gilt [mm]f(f^{-1}(B))=B.[/mm]
Zu zeigen: f ist surjektiv.
D.h. Du kannst für den Beweis für B die Menge Y selbst wählen. Wie Angela in ihrer Antwort schon ausgeführt hat, gilt [mm]f(f^{-1}(B)) \subseteq B[/mm]; aus der Voraussetzung ergibt sich, dass auch [mm]B \subseteq f(f^{-1}(B))[/mm] gilt.
Hoffe das hilft
Gruß
zahlenspieler
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