Beweis mit vollständiger Induk < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:10 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für jede natürliche Zahl gilt: [mm] 2^{n}>{n} [/mm] |
Hallo,
leider bin ich in Mathe irgendwie nie so richtig auf dem richtigen Weg, und nach dem Teilerfolg einer vorherigen Aufgabe, habe ich mich an dieser versucht.
Mein Ansatz:
Induktionsanfang: n=1 [mm] 2^{1}>1 [/mm]
Induktionsschritt: n=k; es gilt auch bei n=k+1
Induktionsvoraussetzung: [mm] 2^{k}>k [/mm] für [mm] k\varepsilon\IN
[/mm]
Induktionsbehauptung: [mm] 2^{k+1}>k+1 [/mm]
Induktionsschritt: [mm] 2^{k+1}>k+1 [/mm] |-1
[mm] \bruch{2^{k}}{2^{1}}-1
[mm] 1^{k}-1
Habe ich den Beweis so richtig geführt?
Vielen Dank fürs Anschauen!
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Hallo Onkel-Di!
Es mag jetzt hart klingen ... aber bevor Du Dich mit Aufgaben der vollständigen Induktion beschäftigst, solltest Du Dir zunächst dringendst die  Potenzgesetze und deren Anwendung ansehen und aneignen und verinnerlichen.
Was Du hier in Deinen "Rechnungen" angibst, ist grausam! ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Ich bin damit immer irgendwie überfordert... aber ich versuch es noch einmal, mit diesmal richtig benutzten Potenzgesetzen!
IA: [mm] 2^{1}>1
[/mm]
IV: n=k
Behauptung: [mm] 2^{k}>k [/mm] ; es gilt auch für [mm] 2^{k+1}>k+1
[/mm]
IS: [mm] 2^{k+1}>k+1
[/mm]
Jetzt wende ich das Potenzgesetz an:
[mm] 2^{k}*2^{1}>k+1
[/mm]
Jetzt teile ich den ganzen Term durch 2 , da diese Zahl positiv ist, dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.
[mm] 2^{k}>\bruch{k+1}{2}
[/mm]
Somit zeige ich doch, dass jedes bei jedem k die linke Seite größer ist als die rechte Seite???
Vielen Dank für Eure Geduld
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Hallo Onkel-Di,
> Ich bin damit immer irgendwie überfordert... aber ich
> versuch es noch einmal, mit diesmal richtig benutzten
> Potenzgesetzen!
>
> IA: [mm]2^{1}>1[/mm]
> IV: n=k
> Behauptung: [mm]2^{k}>k[/mm] ; es gilt auch für [mm]2^{k+1}>k+1[/mm]
> IS: [mm]2^{k+1}>k+1[/mm]
>
> Jetzt wende ich das Potenzgesetz an:
>
> [mm]2^{k}*2^{1}>k+1[/mm]
>
> Jetzt teile ich den ganzen Term durch 2 , da diese Zahl
> positiv ist, dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.
>
> [mm]2^{k}>\bruch{k+1}{2}[/mm]
>
> Somit zeige ich doch, dass jedes bei jedem k die linke
> Seite größer ist als die rechte Seite???
>
Irgendwie musst Du die Induktionsvoraussetzung einfliessen lassen.
Nach Induktionsvoraussetzung ist [mm]2^{k}>k[/mm]
Damit ist [mm]2^{k+1}=2*2^{k} >2*k[/mm]
> Vielen Dank für Eure Geduld
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ich bin damit immer irgendwie überfordert... aber ich
> versuch es noch einmal, mit diesmal richtig benutzten
> Potenzgesetzen!
>
> IA: [mm]2^{1}>1[/mm]
> IV: n=k
> Behauptung: [mm]2^{k}>k[/mm] ; es gilt auch für [mm]2^{k+1}>k+1[/mm]
> IS: [mm]2^{k+1}>k+1[/mm]
>
> Jetzt wende ich das Potenzgesetz an:
>
> [mm]2^{k}*2^{1}>k+1[/mm]
>
> Jetzt teile ich den ganzen Term durch 2 , da diese Zahl
> positiv ist, dreht sich das Ungleichheitszeichen nicht um.
>
> [mm]2^{k}>\bruch{k+1}{2}[/mm]
Bis jetzt ist alles perfekt. Was fehlt, ist die Begründung für die letzte Ungleichung. Du hast nur die Äquivalenz zur Induktionsbehauptung gezeigt. Jetzt nutze die Induktionsvoraussetzung, um diese Ungleichung zu zeigen.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Vielen Dank für die Antwort!
Um die IV zu benutzen, darf ich diese dann, wie z.B. im Beweis von Gauss addieren?
Die Ich muss ja versuchen, aus dieser Gleichung k+1 irgendwann am Ende wieder auf die Ausgangsgleichung A(k) kommen... oder ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 23.11.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
nimm doch die Idee von MathePower auf. Er hat ja gezeigt das auf Grund der IV gilt
[mm] 2^{n+1}>2*n
[/mm]
Wenn Du jetzt noch zeigen kannst, dass 2*n>n+1 ist, hast Du doch gezeigt das gilt
[mm] 2^{n+1}>2*n>n+1 [/mm] also auch
[mm] 2^{n+1}>n+1 [/mm] und das ist doch das was Du zeigen must.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Vielen Dank für die Antwort!
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> Um die IV zu benutzen, darf ich diese dann, wie z.B. im
> Beweis von Gauss addieren?
Das wird wohl kompliziert. Am saubersten scheint mir hier, eine Ungleichungskette aufzustellen:
Du willst [mm] $2^k [/mm] > [mm] \frac [/mm] {k+1} 2 $ zeigen, da diese Ungleichung äquivalent zur Induktionsbehauptung ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist [mm] $2^k [/mm] > k$ und für $k [mm] \ge [/mm] 1$ ist [mm] $k\ge \frac [/mm] {k+1} 2$, wie Du Dir durch äquivalente Umformungen klar machen kannst. Die Ungleichungskette
[mm] $2^k [/mm] > k [mm] \ge \frac [/mm] {k+1} 2$
zeigt schließlich die Induktionsbehauptung.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Onkel-Di |
Super!!! Vielen Dank...
Ich zweifelte schon dran, wie das aussehen könnte.
Da in deinem Fall Term [mm] k\ge\bruch{k+1}{2} [/mm] ist versteh ich das .... habe ich nur bis jetzt bei der bernoulli ungleichung gesehn(dachte ich zumindest) 
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