Beweis mittels Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Sa 27.10.2007 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
i) 3 teilt [mm] (n^3-n), [/mm] d.h. zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine natürlich Zahl [mm] k_n [/mm] mit [mm] 3k_n [/mm] = [mm] (n^3 [/mm] -n) |
Mh, also ich muss ehrlich zugeben ich weiß nicht so recht wie ich an diese aufgabe rangehen soll, mein Ansatz wäre:
IA: n=0
[mm] k_{0} [/mm] = [mm] \bruch{n^3-n}{3}
[/mm]
= 0
ich hoffe mir kann wer dabei helfen, ich bin echt ne null in Mathe...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
Der Anfang ist gemacht !
Du hast gezeigt, dass [mm] k_0 [/mm] eine natürkiche Zahl ist.
Jetzt schließen wir weiter :
Unter der Voraussetzung, dass die Behauptung schon für eine gewisse natürliche Zahl n (und damit für alle Zahlen 0; 1; 2; ... ; n) bewiesen ist, zeigen wir nun, dass sie auch für die Zahl n+1 richtig ist :
Wir müssen beweisen, dass [mm] (n+1)^3 [/mm] - (n+1) durch drei teilbar ist.
Das erreichen wir durch Umformungen (Ausmultiplizieren, Zusammenfassen) und der (Induktions-)Voraussetzung, dass [mm] n^3 [/mm] - n = [mm] 3k_n [/mm] mit einer natürlichen Zahl [mm] k_n [/mm] ist.
Bemerkung : Dieses ist ein Beispiel dafür, dass man nicht jede Behauptung über natürliche Zahlen mit vst. Induktion beweisen muss :
Es ist nämlich [mm] n^3-n [/mm] = [mm] n(n^2-1) [/mm] = n(n+1)(n-1) = (n-1)n(n+1) und von den drei aufeinanderfolgenden Faktoren dieses Produktes ist mindestens einer durch drei teilbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
also wenn ich [mm] (n+1)^3 [/mm] -(n+1) ausmultipliziere komme ich ja auf [mm] n^3+3n^2+3n+1-(n+1) [/mm] bzw. dann [mm] n^3+3n^2+2n [/mm] ...aber was mache ich da jetzt weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chipbit!
Nun zerlegen wir den Term [mm] $n^3+3n^2+2n$ [/mm] etwas:
[mm] $$n^3+3n^2+2n [/mm] \ = \ [mm] \red{n^3-n}+\blue{3n^2+3n}$$
[/mm]
Der rote Ausdruck ist nun gemäß Induktionsvoraussetzung durch 3 teilbar. Und was ist mit dem blauen Term?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
mh, ich würde mal vermuten das der blaue Term ebenfalls durch drei teilbar ist, da in den beiden Komponenten jeweils eine 3 drin ist...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chipbit!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
super, danke!
Gibts da jetzt eigentlich irgendwie ne bestimme Form wie ich das als Beweis aufschreiben kann/muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chipbit!
M.E. kann man das auch verbal umschreiben und argumentiereren.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
Super, danke nochmal für die Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
Ich hab da nochmal eine Frage zum umformen...wenn ich jetzt einen Term der Form [mm] \bruch{n(n+1) (2n+1)+6(n+1)^2}{6} [/mm] habe, wie kann man den denn umformen um auf den Term [mm] \bruch{(n+1)((n+1)+1) (2(n+1)+1)}{6} [/mm] zu kommen?? irgendwie krieg ich das nicht hin....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 So 28.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo chipbit,
> Ich hab da nochmal eine Frage zum umformen...wenn ich jetzt
> einen Term der Form [mm]\bruch{n(n+1) (2n+1)+6(n+1)^2}{6}[/mm] habe,
> wie kann man den denn umformen um auf den Term
> [mm]\bruch{(n+1)((n+1)+1) (2(n+1)+1)}{6}[/mm] zu kommen?? irgendwie
> krieg ich das nicht hin....
Klammere zuerst (n+1) aus.
Fasse dann den restlichen Term in den Klammern zusammen und ermittele seine Nullstellen mit der pq-Formel.
Darüber kannst du ihn dann in Linearfaktoren zerlegen und bekommst das gewünschte Ergebnis (allerdings bereits zusammengefasst)
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
mh, das ist mir soweit schon klar... aber irgendwie krieg ich das mit dem Ausklammern von (n+1) grad nicht hin... der Rest wäre glaub ich ja kein Problem. Da hab ich wohl gerade das berühmte Brett vorm Kopf.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo chipbit!
$$ [mm] \bruch{n*(n+1) *(2n+1)+6*(n+1)^2}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*[n*(2n+1)+6*(n+1)]}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*\left(2n^2+n+6*n+6\right)}{6} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 So 28.10.2007 | | Autor: | chipbit |
ah super, jetzt ists mir klar...vielen lieben Dank!!!
|
|
|
|
