Beweis mittels voll.Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 25.10.2009 | | Autor: | Schapka |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n /ge 0 , alle reellen Zahlen a und alle reellen Zahlen q (im Falle (b) ist q natürlich von 1 verschieden, da man ansonsten durch 0 dividieren würde) die Gültigkeit folgender Gleichungen:
(a) [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] = a+kq = [mm] \bruch{n+1}{2} [/mm] (2a+nq).
(b) [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] = [mm] aq^k [/mm] = a* [mm] \bruch {q^{n+1} -1}{q-1} [/mm] |
Das Prinzip der volständigen Induktion haben wir in der letzten Vorlesung besprochen, man beginnt mit dem Induktionsanfang ( Für A(n) 0 einsetzen -> A(0) ). Dann der Induktionsschritt A(n) -> A(n+1) usw...
Mich verwirren nun aber a und q. Was soll ich mit denen machen?
Setze ich 0 für alles, dann gilt der IA.
Setzte ich für alles 1, dann klappt es nicht =/
Könnte mir bitte jemand einen Anstoß geben?
Danke im Voraus!
|
|
| |
|
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion für alle
> natürlichen Zahlen n /ge 0 , alle reellen Zahlen a und
> alle reellen Zahlen q (im Falle (b) ist q natürlich von 1
> verschieden, da man ansonsten durch 0 dividieren würde)
> die Gültigkeit folgender Gleichungen:
>
> (a) [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm]a+kq = [mm]\bruch{n+1}{2}[/mm] (2a+nq).
>
> (b) [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] [mm]aq^k[/mm] = a* [mm]\bruch {q^{n+1} -1}{q-1}[/mm]
>
> Das Prinzip der volständigen Induktion haben wir in der
> letzten Vorlesung besprochen, man beginnt mit dem
> Induktionsanfang ( Für A(n) 0 einsetzen -> A(0) ). Dann
> der Induktionsschritt A(n) -> A(n+1) usw...
>
> Mich verwirren nun aber a und q. Was soll ich mit denen
> machen?
Hallo,
die sind konstant. Brhandle sie so, als stünden dort irgendwelche festen Zahlen.
> Setze ich 0 für alles, dann gilt der IA.
>
> Setzte ich für alles 1, dann klappt es nicht =/
Mach mal vor, was Du damit meinst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 25.10.2009 | | Autor: | Schapka |
Nehmen wir A(n) = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
IA: A(0) = [mm] \summe_{k=0}^{0} [/mm] k=0 = [mm] \bruch{0(0+1)}{2} [/mm] = 0
d.h. IA gilt
A(n) -> A(n+1)
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] k = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] -> [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] k = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)}{2}
[/mm]
Sowas meinte ich...
Wenn ich a und q als jkonstant auffasse bekomme ich das für den Induktionsschritt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a+kq = [mm] \bruch{(n+1)}{2} [/mm] (2a+nq) -> [mm] \summe_{k=0}^{n+1} [/mm] k = [mm] \bruch{(n+2)}{2} [/mm] (2a+(n+1)q)
oder??
|
|
|
| |
|
Hallo,
zeigen willst Du die Behauptung
[mm] \summe_{k=0}^{n}(a+kq)=[/mm] [mm]\bruch{(n+1)}{2}[/mm] (2a+nq) für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Es beginnt mit dem Induktionsanfang, in welchem Du die Behauptung für n=0 zeigst.
Induktionsanfang:
Vorrechnen mußt Du, daß obige Behauptung für n=0 gilt, daß also
[mm] \summe_{k=0}^{0}(a+kq)=[/mm] [mm]\bruch{(0+1)}{2}[/mm] (2a+0q) richtig ist.
Rechne beide Seiten aus und vergleiche.
Nun folgt die Induktionsannahme/-voraussetzung.
Hier ist nichts zu arbeiten.
Induktionsannahme:
Es ist
[mm] \summe_{k=0}^{n}(a+kq)=[/mm] [mm]\bruch{(n+1)}{2}[/mm] (2a+nq) für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
Und nun zeigt man im Induktionsschluß, daß die Behauptung unter dieser Voraussetzung auch für n+1 gilt.
Man ersetzt also in der Gleichung überall n durch n+1 und zeigt die neue Gleichung unter Verwendung der Induktionsannhame.
Induktionsschluß:
zu zeigen:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}(a+kq)=[/mm] [mm]\bruch{((n+1)+1)}{2}[/mm] (2a+(n+1)q)
Beweis:
Starte mit [mm] \summe_{k=0}^{n+1}(a+kq) [/mm] und bilde unter Verwendung der Induktionsannahme eine Gleichungskette an deren Ende ...= [mm]\bruch{((n+1)+1)}{2}[/mm] (2a+(n+1)q) steht.
So:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}(a+kq)=[\summe_{k=0}^{n}(a+kq)] [/mm] + (a+(n+1)q)= ...
Jetzt die Induktionsvoraussetzung einsetzen und dann weiter.
Gruß v. Angela
> Wenn ich a und q als jkonstant auffasse bekomme ich das
> für den Induktionsschritt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] a+kq = [mm]\bruch{(n+1)}{2}[/mm] (2a+nq) ->
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}[/mm] k = [mm]\bruch{(n+2)}{2}[/mm] (2a+(n+1)q)
>
> oder??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 25.10.2009 | | Autor: | Schapka |
> [mm]\summe_{k=0}^{0}(a+kq)=[/mm] [mm]\bruch{(0+1)}{2}[/mm] (2a+nq) richtig
> ist.
>
> Rechne beide Seiten aus und vergleiche.
Muss ich bei (2a+nq) nicht auch 0 einsetzen, wenn ich für n=0 nehme?
Aber die eine Seite wäre doch a und die andere 2a oder?! -> a+0*q =a und auf der anderen [mm] \bruch{0+1}{2} [/mm] (2a + 0*q) = 2a
Und das ist ja nicht gleich =/
|
|
|
| |
|
> > [mm]\summe_{k=0}^{0}(a+kq)=[/mm] [mm]\bruch{(0+1)}{2}[/mm] (2a+nq) richtig
> > ist.
> >
> > Rechne beide Seiten aus und vergleiche.
>
> Muss ich bei (2a+nq) nicht auch 0 einsetzen, wenn ich für
> n=0 nehme?
Hallo,
oh ja, natürlich!
>
> Aber die eine Seite wäre doch a und die andere 2a oder?!
Wirklich?
> -> a+0*q =a und auf der anderen [mm]\bruch{0+1}{2}[/mm] (2a + 0*q)
> = 2a
Wo ist denn das [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Und das ist ja nicht gleich =/
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 So 25.10.2009 | | Autor: | Schapka |
Wo ist der Wald vom Baum den ich nicht gefunden habe =D?
Stimmt! ich hatte [mm] \bruch{0*1}{2} [/mm] im Kopf!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 25.10.2009 | | Autor: | Boerdy |
brauche die gleiche aufgabe, verstehe auch deine schritte, allerdings weiß ich nicht wo mein fehler ist.
beim IA steht bei mir dann auf der rechten seite neben dem summenzeichen (a+kq)=1a
aber das stimmt doch dann nicht, oder?
und die zweite sache ist. du hattest ja gesagt, dass man die Induktionsvoraussetzung einsetzen muss, also = (n+1)/2 *(2a+nq) ? und dann ausrechnen? mit oder ohne dem (a+kq)
sorry für meine schreibweise, bin neu und muss mir das hier mal in Ruhe ansehen :)
|
|
|
| |
|
> brauche die gleiche aufgabe, verstehe auch deine schritte,
> allerdings weiß ich nicht wo mein fehler ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> beim IA steht bei mir dann auf der rechten seite neben dem
> summenzeichen (a+kq)=1a
Ich schrieb
> > Vorrechnen mußt Du, daß obige Behauptung für n=0 gilt, daß also
> > [mm] \summe_{k=0}^{0}(a+kq)=[/mm] [mm]\bruch{(0+1)}{2}[/mm] (2a+0q) richtig ist.
Es ist [mm] \summe_{k=0}^{0}(a+kq)=a+0*q.
[/mm]
[Hast Du Probleme mit der Summnschreibweise? Es ist $ [mm] \summe_{k=0}^{n}(a+kq)=((a+0*q)+(a+1q)+(a+2q)+(a+3q)+ [/mm] ...+ (a+(n-1)q)+(a+nq).]
> aber das stimmt doch dann nicht, oder?
Jetzt klar?
> und die zweite sache ist. du hattest ja gesagt, dass man
> die Induktionsvoraussetzung einsetzen muss, also = (n+1)/2
> *(2a+nq) ? und dann ausrechnen? mit oder ohne dem (a+kq)
> sorry für meine schreibweise, bin neu und muss mir das
> hier mal in Ruhe ansehen :)
Im Induktionsschluß rechnen wir
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1}(a+kq)=[\summe_{k=0}^{n}(a+kq)] [/mm] $ + (a+(n+1)q)= $ [mm] \bruch{(n+1)}{2} [/mm] $ (2a+nq) + (a+(n+1)q)= ... (I.V. eingesetzt)
und nun muß man so umformen, daß man auf das gewünschte Ergebnis kommt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 So 25.10.2009 | | Autor: | Schapka |
Also bis zu dem Punkt habe ich alles verstanden und hatte auch schon
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}(a+kq)=[\summe_{k=0}^{n}(a+kq)][/mm] +
> (a+(n+1)q)= [mm]\bruch{(n+1)}{2}[/mm] (2a+nq) + (a+(n+1)q)= ...
da stehen.
Jetzt muss ich doch alles auf einen Bruch bekommen , also (2a+nq) + (a+(n+1)q) auf [mm] \bruch{(n+1)}{2} [/mm] bekommen, damit ich am Ende [mm] \bruch{(n+1)+1}{2}+(2a+(n+1)q) [/mm] da stehen habe?!
|
|
|
| |
|
> Also bis zu dem Punkt habe ich alles verstanden und hatte
> auch schon
>
>
> > [mm]\summe_{k=0}^{n+1}(a+kq)=[\summe_{k=0}^{n}(a+kq)][/mm] + (a+(n+1)q)= [mm]\bruch{(n+1)}{2}[/mm] (2a+nq) + (a+(n+1)q)= ...
>
>
> da stehen.
>
> Jetzt muss ich doch alles auf einen Bruch bekommen , also
> (2a+nq) + (a+(n+1)q) auf [mm]\bruch{(n+1)}{2}[/mm] bekommen,
Das klingt etwas skurril, aber Du meinst sicher das Richtige.
Bring es erstmal auf einen gemeinsamen Bruchstrich, dann hast Du unten schonmal die benötigte 2.
> damit ich am Ende [mm]\bruch{(n+1)+1}{2}+(2a+(n+1)q)[/mm] da stehen
> habe?!
Tippfehler? Du mußt jetzt so lange rechnen, bis Du [mm] \bruch{n+2}{2}\red{\*}(2a+(n+1)q) [/mm] dastehen hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo.. bin grad etwas irritiert wieso ist a + 0 * q = a ... bei 0 + 1 durch 2 (2a + 0q) kann ich das nachvollziehen das lediglich a übrig bleibt..
und wenn ich dann auf beiden Seiten a raus habe.. was mache ich dann weiter?
|
|
|
| |
|
> Hallo.. bin grad etwas irritiert wieso ist a + 0 * q = a
Hallo,
ich bin auch irritiert: wieso soll a+0*q nicht a ergeben? a+0=a, oder?
> ... bei 0 + 1 durch 2 (2a + 0q) kann ich das nachvollziehen
> das lediglich a übrig bleibt..
>
> und wenn ich dann auf beiden Seiten a raus habe.. was mache
> ich dann weiter?
Dann freust Du Dich, daß Dein Induktionsanfang geglückt ist.
Wo liegt nun Dein konkretes Problem?
Ich habe in diesem Thread doch bereits sehr ausführlich beschrieben, was zu tun ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
