Beweis mittels vollst. Indukt. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise mittels vollständiger Induktion, das für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i³=(\summe_{i=1}^{n}i)²[/mm] |
Hallo,
es wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe mit folgendem Ansatz begonnen:
Testen für A(0): stimmt!
Beweisen: Aus A(n) folgt A(n+1)
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}i³=(\summe_{i=1}^{n+1}i)²[/mm]
[mm] (1+n)³+\summe_{i=1}^{n}i³=((n+1)+\summe_{i=1}^{n}i)²[/mm]
und dann komme ich nicht mehr weiter...
Vielen Dank im Vorraus Reticella
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Reticella,
> Beweise mittels vollständiger Induktion, das für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> gilt:
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> [mm]\summe_{i=1}^{n}i³=(\summe_{i=1}^{n}i)²[/mm]
> Hallo,
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> es wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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> Ich habe mit folgendem Ansatz begonnen:
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> Testen für A(0): stimmt!
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> Beweisen: Aus A(n) folgt A(n+1)
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> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}i³=(\summe_{i=1}^{n+1}i)²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist im Induktionsschritt zu zeigen!
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> Die Induktionsvoraussetzung ist, dass die Beh. für ein beliebiges, aber festes $n\in\IN$ gilt, dass also $\red{\summe_{i=1}^{n}i^3}=\blue{\left(\summe_{i=1}^{n}i\right)^2}$ gilt
Unter dieser Voraussetzunz soll dann auch gefälligst $\summe_{i=1}^{n+1}i^3=\left(\summe_{i=1}^{n+1}i\right)^2$ sein
Also fangen wir mit der linken Seite der zu zeigenden Beh. an und versuchen, das so umzuformen, dass wir die Induktionsvoraussetzung benutzen können und schlussendlich die rechte Seite der Beh. hinbasteln können
Es ist $\summe_{i=1}^{n+1}i^3=\red{\summe_{i=1}^{n}i^3} \ + \ (n+1)^3$
Da ist einfach der letzte Summand, also der für i=n+1 separat hinten dran geschrieben
$=\blue{\left(\summe_{i=1}^{n}i\right)^2}} \ + \ (n+1)^3$
Da ist nun die Induktionsvoraussetzung eingeflossen - s.o.
Nun musst du in deinem Gedächtnis kramen (oder in deinen Unterlagen  )
Ihr habt doch bestimmt in eurer allerersten Induktion gezeigt, dass sich die Summe der ersten n natürlichen Zahlen darstellen lässt als $\sum\limits_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}$
Das kannst du benutzen, forme also $(n+1)^3+\left(\sum\limits_{i=1}^n i\right)^2=(n+1)^3+\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ weiter um...
Denke daran, dass du das Ziel der Umformungen ja vor Augen hast:
es sollte rauskommen $\left(\sum\limits_{i=1}^{n+1}i\right)^2=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2$
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> Vielen Dank im Vorraus Reticella
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Di 06.05.2008 | | Autor: | Reticella |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
lg Reticella
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