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| Aufgabe | | Beweisen sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \summe_{k=n}^{2n-1} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n-1}\bruch{(-1)^(k-1)}{k} [/mm] |
Guten Tag,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bin eben auf diese Seite gestoßen und bräuchte Hilfe bei oben genannter Aufgabe.
Ich habe auch schon versucht sie zu lösen:
per Induktion
n=1 => 1=1 also induktionsvorraussetzung gilt.
n -> n+1
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n+1}\bruch{1}{k} [/mm] <=> [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] + [mm] \summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k} [/mm]
nur jetzt müsste ich ja den index verschieben, wodurch ja dann
[mm] \summe_{k=n}^{2n-1}\bruch{1}{k-1}
[/mm]
da stünde ?
oder wo ist der fehler?
Bräuchte dringend Hilfe.
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Hallo,
erst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen sie für alle n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\summe_{k=n}^{2n-1} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2n-1}\bruch{(-1)^{k-1}}{k}[/mm]
Achtung, Exponenten in geschweiften Klammern
> Guten Tag,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ich bin eben auf diese Seite gestoßen und bräuchte Hilfe
> bei oben genannter Aufgabe.
> Ich habe auch schon versucht sie zu lösen:
>
> per Induktion
> n=1 => 1=1 also induktionsvorraussetzung gilt.
>
> n -> n+1
> [mm]\summe_{k=n+1}^{2n+1}\bruch{1}{k}[/mm] <=> [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm] + [mm]\summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}[/mm]
Schreibe besser "=" anstatt dem Äquivalenzsymbol
> nur jetzt müsste ich ja den index verschieben, wodurch ja
> dann [mm]\summe_{k=n}^{2n-1}\bruch{1}{k-1}[/mm] da stünde ?
Nein, eine Indexverschiebung ist hier nicht so geeignet.
Probieren wir es mal so:
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n+1}\bruch{1}{k}=\summe_{k=n}^{2n-1}\bruch{1}{k}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}
[/mm]
Jetzt darfst du die IV anwenden 
Gruß
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> Probieren wir es mal so:
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> [mm]\summe_{k=n+1}^{2n+1}\bruch{1}{k}=\summe_{k=n}^{2n-1}\bruch{1}{k}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}[/mm]
> Jetzt darfst du die IV anwenden
>
> Gruß
vielen dank.
dann steht da:
[mm] \summe_{k=n}^{2n-1}\bruch{1}{k}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}
[/mm]
dann Induktionsvorraussetzung:
[mm] \summe_{k=1}^{2n-1}\bruch{(-1)^{k-1}}{k}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}
[/mm]
jetzt kann ich ja [mm] \frac{1}{2n} [/mm] mit in die Summe schreiben?
[mm] \summe_{k=1}^{2n}\bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n}
[/mm]
geht das auch mit [mm] +\frac{1}{2n+1} [/mm] wegen dem Plus davor ?
muss da nicht igrnedwie ein Minus hin weil, 2 aufeinander folgende Faktoren in der Summe können ja nicht das selbe Vorzeichen haben.
und was mach ich mit [mm] \bruch{1}{n}?
[/mm]
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> > Probieren wir es mal so:
> >
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> [mm]\summe_{k=n+1}^{2n+1}\bruch{1}{k}=\summe_{k=n}^{2n-1}\bruch{1}{k}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}[/mm]
> > Jetzt darfst du die IV anwenden
> >
> > Gruß
>
> vielen dank.
> dann steht da:
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> [mm]\summe_{k=n}^{2n-1}\bruch{1}{k}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}[/mm]
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> dann Induktionsvorraussetzung:
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> [mm]\summe_{k=1}^{2n-1}\bruch{(-1)^{k-1}}{k}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n}[/mm]
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> jetzt kann ich ja [mm]\frac{1}{2n}[/mm] mit in die Summe schreiben?
> [mm]\summe_{k=1}^{2n}\bruch{(-1)^{k-1}}{k}[/mm] + [mm]\frac{1}{2n+1}-\red{\frac{1}{n}}[/mm]
Wegen [mm] (-1)^{2n-1}=-1 [/mm] kann hier nur der Summand [mm] -\frac{1}{2n} [/mm] in die Summe gezogen werden. Das ist aber eine ganz gute Situation, da bei dir ja draußen steht [mm] \frac{1}{2n}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{2n}. [/mm] Also werden wir das [mm] \frac{1}{n} [/mm] auch gleich los!
> geht das auch mit [mm]+\frac{1}{2n+1}[/mm] wegen dem Plus davor ?
Jo.
> muss da nicht igrnedwie ein Minus hin weil, 2 aufeinander
> folgende Faktoren in der Summe können ja nicht das selbe
> Vorzeichen haben.
> und was mach ich mit [mm]\bruch{1}{n}?[/mm]
Siehe oben.
Gruß
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