Beweis starke Dualität < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:41 Mi 12.11.2014 | | Autor: | Kosamui |
| Aufgabe | | Beweis der starken Dualität (Lineare Opimierung) |
Hallihallo,
ich mache gerade den Beweis von der starken Dualität durch. Und zwar diesen: http://books.google.at/books?id=I-r1ywhuy0YC&pg=PA307&lpg=PA307&dq=karl+heinz+zimmermann+diskrete+mathematik+l%C3%B6sungen&source=bl&ots=8Ht0FzEi8_&sig=pU9Arj4oFC5gpuVUDnwWf7HSvyo&hl=de&sa=X&ei=Q387VPGOD8HlaIvIgJgD&ved=0CDwQ6AEwBA#v=onepage&q=Dann%20folgt%20P%20%3D&f=false
Seite 332.
Kann mir wer den zweiten Teil erklären? Das wäre ganz toll.
Liebe Grüße, kosamui
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Do 13.11.2014 | | Autor: | meili |
Hallo kosamui,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweis der starken Dualität (Lineare Opimierung)
> Hallihallo,
>
> ich mache gerade den Beweis von der starken Dualität
> durch. Und zwar diesen:
> http://books.google.at/books?id=I-r1ywhuy0YC&pg=PA307&lpg=PA307&dq=karl+heinz+zimmermann+diskrete+mathematik+l%C3%B6sungen&source=bl&ots=8Ht0FzEi8_&sig=pU9Arj4oFC5gpuVUDnwWf7HSvyo&hl=de&sa=X&ei=Q387VPGOD8HlaIvIgJgD&ved=0CDwQ6AEwBA#v=onepage&q=Dann%20folgt%20P%20%3D&f=false
> Seite 332.
Leider kann man nur den Beweis und nicht den Satz, der bewiesen wird,
sehen.
> Kann mir wer den zweiten Teil erklären? Das wäre ganz
> toll.
Wo fängt für dich der zweite Teil an?
Und was verstehst du daran nicht?
Was ist mit dem ersten Teil?
>
> Liebe Grüße, kosamui
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/
Es wäre schön, wenn man deine Frage auf diesem Forum ohne langes
Suchen finden könnte.
Gruß
meili
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:46 Do 13.11.2014 | | Autor: | Kosamui |
| Aufgabe | Hallo, vielen Dank erstmal für deine Antwort.
Der Satz lautet:
Seien ein primales und das zugehörige duale Programm gegeben
max [mm] c^T [/mm] x , so dass Ax [mm] \le [/mm] b , [mm] x\ge0 [/mm]
min [mm] b^T [/mm] y, so dass [mm] A^T [/mm] y [mm] \ge [/mm] c,y [mm] \ge0.
[/mm]
Wenn beide Programme jeweils mindestens eine zulässige Lösung haben, dann sind beide Programme lösbar. Für die optimalen Lösungen x* und y* gilt c^Tx* = b^Ty*.
Wenn eines der beiden Programme keine zulässige Lösung besitzt, dann hat keines der beiden Programme eine optimale Lösung. |
Zum Beweis und was ich nicht verstehe:
Beim ersten Teil verstehe ich nicht, warum [mm] P={...,c^T x - b^T y \ge 0}
[/mm]
Wir haben zwei Seiten vorher im Buch, dass immer gilt : [mm] c^T [/mm] x [mm] \le b^T [/mm] y.
Dann verstehe ich nicht, wie man auf die Zeile (24.14) kommt. Man ersetzt quasi y durch u,v,k, da y ja ein vektor ist, der in R^(m+n+1) liegt und dieser kann dann nicht mit [mm] A^T [/mm] multipliziert werden. Also ist u,v,k sozusagen ein "Aufteilen" ?
Aber wieso kommt rechts immer das k dazu?
Beim zweiten Teil verstehe ich nicht, wieso automatisch auch y'+ky eine zulässige Lösung ist? (k [mm] \ge [/mm] 0).
Wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir wer weiterhelfen kann!!
Will das unbedingt verstehen.
Liebe Grüße, kosamui
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Kosamui |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Sa 15.11.2014 | | Autor: | meili |
Hallo kosamui,
> Hallo, vielen Dank erstmal für deine Antwort.
>
> Der Satz lautet:
>
> Seien ein primales und das zugehörige duale Programm
> gegeben
>
> max [mm]c^T[/mm] x , so dass Ax [mm]\le[/mm] b , [mm]x\ge0[/mm]
> min [mm]b^T[/mm] y, so dass [mm]A^T[/mm] y [mm]\ge[/mm] c,y [mm]\ge0.[/mm]
>
> Wenn beide Programme jeweils mindestens eine zulässige
> Lösung haben, dann sind beide Programme lösbar. Für die
> optimalen Lösungen x* und y* gilt c^Tx* = b^Ty*.
> Wenn eines der beiden Programme keine zulässige Lösung
> besitzt, dann hat keines der beiden Programme eine optimale
> Lösung.
> Zum Beweis und was ich nicht verstehe:
> Beim ersten Teil verstehe ich nicht, warum [mm]P={...,c^T x - b^T y \ge 0}[/mm]
>
> Wir haben zwei Seiten vorher im Buch, dass immer gilt : [mm]c^T[/mm]
> x [mm]\le b^T[/mm] y.
Zuerst wird ja angenommen primales LP und duales LP haben beide
zulässige Lösungen. Diese zulässigen Lösungen werden in P
zusammengefasst mit der zusätzlichen Bedingung $c^Tx - b^Ty [mm] \ge [/mm] 0$.
Ziel ist es, zu zeigen es gibt ein x und ein y mit $c^Tx = b^Ty$, und das
über einen Widerspruchsbeweis.
Wenn also P nicht leer ist, kann mit Korollar 24.3 P nur x,y enthalten mit
$c^Tx = b^Ty$.
>
> Dann verstehe ich nicht, wie man auf die Zeile (24.14)
> kommt. Man ersetzt quasi y durch u,v,k, da y ja ein vektor
> ist, der in R^(m+n+1) liegt und dieser kann dann nicht mit
> [mm]A^T[/mm] multipliziert werden. Also ist u,v,k sozusagen ein
> "Aufteilen" ?
> Aber wieso kommt rechts immer das k dazu?
Leider wurde hier wieder y als Bezeichnung verwendet, obwohl y schon
im dualen LP verwendet wurde, und man im folgenden immer darauf achten
muss, wann welches y gemeint ist. (Vielleicht weil in Satz 24.5 auch y steht;
aber leider kann ich Satz 24.5 nicht sehen.)
Dieses $y [mm] \in \IR^{m+n+1}$ [/mm] wird aufgeteilt in $y = [mm] \vektor{u \\ v \\ k}$.
[/mm]
Zeile (24.14) entsteht aus [mm] $A'^T*\vektor{u \\ v \\ k} \ge [/mm] 0, [mm] \vektor{u \\ v \\k} \ge [/mm] 0, [mm] d^T\vektor{u \\ v \\ k} [/mm] <0$
mit
$d = [mm] \vektor{b \\ -c \\ 0}, [/mm] A' = [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & -A^T \\ -c^T & b^T}$.
[/mm]
Es ist:
$A'^Ty= [mm] \pmat{A^t & 0 & -c \\ 0 & -A^T & b}*\vektor{u \\ v \\ k} [/mm] = [mm] \pmat{A^tu - ck \\ -A^Tv + bk}$
[/mm]
[mm] $\pmat{b^T & -c^T & 0}*\vektor{u \\ v \\ k} [/mm] = b^Tu -c^Tv$
>
> Beim zweiten Teil verstehe ich nicht, wieso automatisch
> auch y'+ky eine zulässige Lösung ist? (k [mm]\ge[/mm] 0).
Darüber müsste ich nochmal nachdenken.
Aber vielleicht kann das in der Zwischenzeit jemand anderes beantworten.
>
>
> Wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir wer weiterhelfen
> kann!!
>
> Will das unbedingt verstehen.
>
> Liebe Grüße, kosamui
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 So 16.11.2014 | | Autor: | Kosamui |
Super, danke dass du mir das mit dem k auf der rechten Seite erklärt hast! :)
Den zweiten Teil werde ich mir nochmals genau anschauen, aber ich glaub auf das mit dem y'+ky komm ich nicht mehr drauf, wieso das so ist..
GLG ) kosamui
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mo 17.11.2014 | | Autor: | meili |
Hallo kosamui,
> Super, danke dass du mir das mit dem k auf der rechten
> Seite erklärt hast! :)
>
> Den zweiten Teil werde ich mir nochmals genau anschauen,
> aber ich glaub auf das mit dem y'+ky komm ich nicht mehr
> drauf, wieso das so ist..
Nach Annahme ist y' eine zulässige Lösung des dualen LP. Also $A^Ty' [mm] \ge [/mm] c, [mm] \quad [/mm] y' [mm] \ge [/mm] 0$.
Für y gilt: $A^Ty [mm] \ge [/mm] 0, [mm] \quad [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0$. ($b^Ty < 0$ wird erst später gebraucht.)
Für k wird angenommen: $k [mm] \ge [/mm] 0$.
Es ist
[mm] $A^T(y'+ky) [/mm] = A^Ty' + kA^Ty [mm] \ge [/mm] c + k*r [mm] \ge [/mm] c$ mit $r [mm] \ge [/mm] 0$
Mit den oben genannten Voraussetzungen ist $y' + ky [mm] \ge [/mm] 0$.
Somit ist y'+ky auch eine zulässige Lösung des dualen LP.
Im weiteren wird gezeigt, dass [mm] $b^T(y' [/mm] + ky)$ beliebig klein
($ [mm] \le [/mm] 0$) werden kann, und damit für das duale LP kein Minimum
existiert.
>
> GLG ) kosamui
>
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Kosamui |
Danke! Eigentlich aufgrund der Linearität dann eh ganz logisch, aber oft stehe ich am schlauch! Danke dir vielmals :)
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, vielen Dank erstmal für deine Antwort.
>
> Der Satz lautet:
>
> Seien ein primales und das zugehörige duale Programm
> gegeben
>
> max [mm]c^T[/mm] x , so dass Ax [mm]\le[/mm] b , [mm]x\ge0[/mm]
> min [mm]b^T[/mm] y, so dass [mm]A^T[/mm] y [mm]\ge[/mm] c,y [mm]\ge0.[/mm]
>
> Wenn beide Programme jeweils mindestens eine zulässige
> Lösung haben, dann sind beide Programme lösbar. Für die
> optimalen Lösungen x* und y* gilt c^Tx* = b^Ty*.
> Wenn eines der beiden Programme keine zulässige Lösung
> besitzt, dann hat keines der beiden Programme eine optimale
> Lösung.
ich habe gerade mal in alten Vorlesungsunterlagen von mir reingeguckt.
Soweit ich das gerade sehe, geht es dort um den sogenannten starken
Dualitätssatz.
Vielleicht schaust Du auch einfach mal in ein anderes OR-Skript oder
OR-Buch dahingehend rein. Soweit ich das mitbekommen habe, scheint
es hier ja auch Notationsproblematiken/-Überschneidungen zu geben.
Ich schreib' Dir aber auch gleich noch kurz 'ne PN.
Edit: Ich sehe gerade: Ich hätte nur mal genauer in die Überschrift gucken
brauchen.... 
Aber dennoch: Auch mal in andere Beweise gucken (meist gibt es da fast
keine Unterschiede)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Kosamui |
Oder hat jemand evtl. Ideen? Lg
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