Beweis stetiges Intervall < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 27.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei I ein Intervall in [mm] \IR, [/mm] und seien f : I [mm] \rightarrow \IR [/mm] und g : I [mm] \rightarrow \IR [/mm] stetige Funktionen. Für alle
x [mm] \in [/mm] I [mm] \cap \IQ [/mm] sei f(x) = g(x).
Beweisen Sie, dass f(x) = g(x) für alle x [mm] \in [/mm] I gilt.
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Hallo,
hier fehlt mir leider noch völlig das Verständnis für die Aufgabe. Wenn ich das reelle Intervall mit der Menge der rationalen Zahlen schneide, dann habe ich ja nur rationale Zahlen, was muss ich dann noch zeigen???
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Fr 28.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Sei I ein Intervall in [mm]\IR,[/mm] und seien f : I [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> und g : I [mm]\rightarrow \IR[/mm] stetige Funktionen. Für alle
> x [mm]\in[/mm] I [mm]\cap \IQ[/mm] sei f(x) = g(x).
> Beweisen Sie, dass f(x) = g(x) für alle x [mm]\in[/mm] I gilt.
>
> Hallo,
>
> hier fehlt mir leider noch völlig das Verständnis für die
> Aufgabe. Wenn ich das reelle Intervall mit der Menge der
> rationalen Zahlen schneide, dann habe ich ja nur rationale
> Zahlen, was muss ich dann noch zeigen???
In der Voraussetzung steht also, dass die beiden Funktionen für alle rationalen Werte von x übereinstimmen. Du musst also aus der Stetigkeit ableiten, dass sie auch für alle irrationalen Werte von x übereinstimmen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Fr 28.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Rainer,
> In der Voraussetzung steht also, dass die beiden Funktionen
> für alle rationalen Werte von x übereinstimmen. Du musst
> also aus der Stetigkeit ableiten, dass sie auch für alle
> irrationalen Werte von x übereinstimmen.
ok, verstehe, kann ich das beweisen, indem ich zeige, dass eine reelle Zahl ein Grenzwert rationaler Zahlen ist? Oder welchen Satz muss ich benutzen?
Vielen Dank.
Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Fr 28.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Rainer,
>
> > In der Voraussetzung steht also, dass die beiden Funktionen
> > für alle rationalen Werte von x übereinstimmen. Du musst
> > also aus der Stetigkeit ableiten, dass sie auch für alle
> > irrationalen Werte von x übereinstimmen.
> ok, verstehe, kann ich das beweisen, indem ich zeige, dass
> eine reelle Zahl ein Grenzwert rationaler Zahlen ist?
Genau das brauchst Du
FRED
>Oder
> welchen Satz muss ich benutzen?
>
> Vielen Dank.
> Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 28.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
> > ok, verstehe, kann ich das beweisen, indem ich zeige,
> dass
> > eine reelle Zahl ein Grenzwert rationaler Zahlen ist?
>
> Genau das brauchst Du
gut, ich habe also meine Voraussetzung: Jede reelle Zahl a ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen (das darf ich voraussetzen, da es im Kurs eine Proposition ist, die dort bewiesen wurde), denn [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR.
[/mm]
Wenn ich das nun habe, welches Argument benötige ich noch aus dem Bereich der Stetigkeit, um zu zeigen, dass f(x)=g(x) für alle reellen Zahlen in I ist? Es heißt ja, dass ich mit den rationalen Zahlen aus dem Intervall I alle reellen Zahlen beliebig nah erreiche, so nah, dass der Abstand zu ihnen eine Nullfolge ist, aber wozu benötige ich jetzt noch die Stetigkeit?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Fr 28.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Hallo,
> > > ok, verstehe, kann ich das beweisen, indem ich
> zeige,
> > dass
> > > eine reelle Zahl ein Grenzwert rationaler Zahlen ist?
> >
> > Genau das brauchst Du
> gut, ich habe also meine Voraussetzung: Jede reelle Zahl a
> ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen (das darf ich
> voraussetzen, da es im Kurs eine Proposition ist, die dort
> bewiesen wurde), denn [mm]\IQ[/mm] liegt dicht in [mm]\IR.[/mm]
> Wenn ich das nun habe, welches Argument benötige ich noch
> aus dem Bereich der Stetigkeit, um zu zeigen, dass
> f(x)=g(x) für alle reellen Zahlen in I ist? Es heißt ja,
> dass ich mit den rationalen Zahlen aus dem Intervall I alle
> reellen Zahlen beliebig nah erreiche, so nah, dass der
> Abstand zu ihnen eine Nullfolge ist, aber wozu benötige ich
> jetzt noch die Stetigkeit?
Die Stetigkeit brauchst du für die Folgerung
[mm] \lim_{n\to\infty} x_n = a \implies \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(a) [/mm]
oder anders ausgedrückt: wenn f stetig ist, so gilt
[mm] f(\lim_{n\to\infty} x_n) = \lim_{n\to\infty} f(x_n) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Sa 29.11.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Rainer,
> Die Stetigkeit brauchst du für die Folgerung
> [mm]\lim_{n\to\infty} x_n = a \implies \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(a)[/mm]
ja, natürlich, es geht hier ja um Funktionen, und dafür benötige ich ja die Stetigkeit.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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