Beweis stetigkeit arctangens < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Mi 16.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Stetigkeit der auf R definierten Funktion f(x) =arctanx indem Sie zu gegebener positiver Zahl E eine geeignete Zahl d bestimmen.
Ist diese Funktion auh gleichmäßig stetig, begründen Sie ihr Urteil. |
Hallo!
Es soll ja gelten: Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiere ein [mm] \delta [/mm] >0 sodass gelte
[mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
mit [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
leider leider weiss ich nicht, wie ich das nun auf den arcustangens anwenden soll.
kann mir da jemand weiterhelfen und die allgemeine vorgehensweise beim beweis der stetigkeit erklären?
danke,
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Seien x und [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein t zwischen x und [mm] x_0 [/mm] mit:
[mm] $f(x)-f(x_0) [/mm] = [mm] (x-x_0)f'(t) [/mm] = [mm] (x-x_0)\bruch{1}{1+t^2}$
[/mm]
Also:
(*) [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |x-x_0| \bruch{1}{1+t^2} \le |x-x_0|$
[/mm]
Wenn Du nun [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben hast, wie mußt Du dann wohl [mm] \delta [/mm] wählen ??
Aus (*) ergibt sich: f ist auf [mm] \IR [/mm] sogar Lipschitzstetig, also auch ............. ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 16.09.2009 | | Autor: | katjap |
tut mir leid, ich verstehs leider nicht.
ich bin da total verwirrt bei den ganzen bedingungen.
kannst du mir deine schritte erklären und sagen mit welcher bedingung man dann auf das delta kommt?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> tut mir leid, ich verstehs leider nicht.
Was verstehst Du nicht ? Ist Dir der Mittelwertsatz bekannt ?
>
> ich bin da total verwirrt bei den ganzen bedingungen.
> kannst du mir deine schritte erklären und sagen mit
> welcher bedingung man dann auf das delta kommt?
Wir haben doch:
(*) [mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |x-x_0|$
[/mm]
Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] >0, so wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] . Ist dann [mm] $|x-x_0|< \delta [/mm] $, so folgt aus (*): [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon$
[/mm]
FRED
>
> danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mi 16.09.2009 | | Autor: | katjap |
der mittelwertsatz ist bekannt,
nach nochmaligem anschauen, habe ich nun acuh den ansatz verstanden, nachdem du dann erklärt hast wie man auf delta kommt, ist es mir nun klar
ich weiss nur nicht wie ich selber da drauf kommen soll.
ist die methode mit dem mittelwertsatz eine standartmethode?
danke gruss katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> der mittelwertsatz ist bekannt,
> nach nochmaligem anschauen, habe ich nun acuh den ansatz
> verstanden, nachdem du dann erklärt hast wie man auf delta
> kommt, ist es mir nun klar
> ich weiss nur nicht wie ich selber da drauf kommen soll.
>
> ist die methode mit dem mittelwertsatz eine
> standartmethode?
In folgender Situation ja:
Sei I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und f:I [mm] \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung, etwa $|f'(x)| [mm] \le [/mm] L $ für jedes x in I.
Wie oben folgt mit dem Mittelwertsatz:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le L|x-x_0|$ [/mm] für x und [mm] x_0 [/mm] in I
Ist [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so kannst Du [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{L} [/mm] wählen.
FRED
>
> danke gruss katja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 20.09.2009 | | Autor: | katjap |
hallo!
ich hab mir freds allgemeinen lösungsansatz nochmal angeschaut.
das gilt ja dann nur, falls ich in derAugabenstellung kein bestimmtes x0 angegeben habe, oder?
hab jetzt noch eine frage zu dem arctangens beispiel.
nach der allgemeinen formulierung von fred muesste ja, [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{L} [/mm] mit f'(x) [mm] \le [/mm] L sein
aber was genau ist denn das L in dem beispiel? doch eigentlich
das [mm] \bruch{1}{1+t^{2}} [/mm] oder?
bin gerade etwas verwirrt,vielleicht kann es mir ja noch mal jemand erklären,
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 20.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katja!
> hallo!
>
> ich hab mir freds allgemeinen lösungsansatz nochmal
> angeschaut.
> das gilt ja dann nur, falls ich in derAugabenstellung kein
> bestimmtes x0 angegeben habe, oder?
>
> hab jetzt noch eine frage zu dem arctangens beispiel.
>
> nach der allgemeinen formulierung von fred muesste ja,
> [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon}{L}[/mm] mit f'(x) [mm]\le[/mm] L sein
>
> aber was genau ist denn das L in dem beispiel? doch
> eigentlich
> das [mm]\bruch{1}{1+t^{2}}[/mm] oder?
Nein. Hier ist ein L gesucht, sodass [mm] $|f'(x)|\le [/mm] L$ für alle Werte von $x$. Der Mittelwertsatz sagt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+t^{2}} |x-x_0|$ [/mm] für ein t zwischen $x$ und [mm] $x_0$. [/mm] Der Satz sagt dir nicht, welchen Wert t hat, und außerdem wird der Wert von t von $x$ und von [mm] $x_0$ [/mm] abhängen.
Deswegen nimmst du das Maximum des Ausdrucks [mm] $\bruch{1}{1+t^{2}}$:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1+t^{2}} \le \max_{t\in\IR}\bruch{1}{1+t^{2}} = 1 [/mm],
und daher ist
[mm] |f(x)-f(x_0)| = \bruch{1}{1+t^{2}} |x-x_0| \le 1* |x-x_0| [/mm]
Die Ungleichung [mm] $|f(x)-f(x_0)|\le|x-x_0|$ [/mm] gilt für beliebige Werte von $x$ und von [mm] $x_0$; [/mm] deswegen kann man damit viel einfacher umgehen.
Daher ist hier dein $L=1$.
Noch eine Bemerkung: Der Mittelwertsatz setzt voraus, dass die Funktion in einem offenen Intervall differenzierbar ist. Damit ist sie aber auch in diesem Intervall stetig. Es könnte sein, dass deswegen nach einem anderen Nachweis der Stetigkeit verlangt wird.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mo 21.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke für deine erklärung, die abschätzung mit dem maximum hatte ich nciht gesehen/gekannt, jetzt ist es klar.
hm ich weiss nicht, ob man da dann einen anderen nachweis der stetigkeit braucht,
die aufgabenstellung war exakt folgende:
Beweisen Sie die Stetigkeit der auf R definierten Funktion f(x)=arctan x , indem sie zu gegebener positiver Zahl [mm] \varepsilon [/mm] eine geeignete Zahl [mm] \delta [/mm] bestimmen. b) ist diese Funktion f auch gleichmäßig stetig, begründen sie ihr Urteil.
danke fuer die hilfe auf jeden fall!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mo 21.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katja!
> hm ich weiss nicht, ob man da dann einen anderen nachweis
> der stetigkeit braucht,
Falls doch: du kannst [mm] $\arctan [/mm] x - [mm] \arctan x_0$ [/mm] über das Additionstheorem
[mm] \arctan x -\arctan y = \arctan \bruch{x-y}{1+xy} [/mm] für [mm]|x|,|y| < 1[/mm]
umformen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
Hallo!
nachdem mir in einem anderen eintrag gesagt, wurde dass der Beweis ueber die Methode mit dem Mittelwertsatz ungültig ist , da man den MIttelwertsatz ja nur anwenden kann wenn man weiss dass die Funktion stetig ist,
bräuchte ich nun eine Hilfe für die Lösung der Aufgabe mit der von Rainer vogeschlagenen Methode.
Kann mir da jemand weiterhelfen, da ich wieder genau vor dem anfangsproblem stehe, da ich nicht weiss wie ich den arctangens umformen soll...
danke!
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> Hallo!
>
> nachdem mir in einem anderen eintrag gesagt, wurde dass der
> Beweis ueber die Methode mit dem Mittelwertsatz ungültig
> ist , da man den MIttelwertsatz ja nur anwenden kann wenn
> man weiss dass die Funktion stetig ist,
> bräuchte ich nun eine Hilfe für die Lösung der Aufgabe
> mit der von Rainer vogeschlagenen Methode.
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen, da ich wieder genau vor
> dem anfangsproblem stehe, da ich nicht weiss wie ich den
> arctangens umformen soll...
>
> danke!
Hallo Katja,
ich denke auch, dass der Einsatz des Mittelwertsatzes
für den Stetigkeitsbeweis keinen Sinn macht.
Ein Blick auf den Graph der Funktion sollte aber wohl
erlaubt sein, um wenigstens zu einer Vermutung betr.
die Wahl von [mm] \delta [/mm] zu kommen.
Wir haben also die Funktion [mm] f:x\mapsto{arctan(x)} [/mm] ,
eine fest vorgegebene Zahl [mm] x_0\in \IR [/mm] und ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] .
Gesucht ist ein [mm] \delta>0 [/mm] so, dass
[mm] $|x-x_0|<\delta\ \Rightarrow\ |arctan(x)-arctan(x_0)|<\varepsilon$
[/mm]
Verwenden wir die von Rainer vorgeschlagene Formel,
welche sich aus dem Subtraktionssatz der Tangensfunktion
ergibt:
$ [mm] \arctan [/mm] x [mm] -\arctan [/mm] y = [mm] \arctan \bruch{x-y}{1+xy} [/mm] $
so haben wir:
$ [mm] |\arctan [/mm] x [mm] -\arctan x_0| [/mm] = [mm] \left|\,\arctan \bruch{x-x_0}{1+x\,x_0}\,\right| [/mm] $
$\ =\ [mm] \arctan\, \left| \bruch{x-x_0}{1+x\,x_0}\right|\ [/mm] =\ [mm] \arctan\ \bruch{|x-x_0|}{|1+x\,x_0|} [/mm] $
Im letzten Bruch [mm] $\bruch{|x-x_0|}{|1+x\,x_0|} [/mm] $
betrachten wir zunächst den Nenner: falls x das gleiche
Vorzeichen wie [mm] x_0 [/mm] hat, ist er [mm] \ge{1}. [/mm] Wenn wir
voraussetzen, dass im Falle $\ [mm] x_0\not=0\quad\delta\le|x_0|$ [/mm] sein soll, ist dies
gewährleistet. Im Fall [mm] x_0=0 [/mm] ist er gleich 1.
Dies, also [mm] |1+x\,x_0|\ge{1} [/mm] einmal vorausgesetzt, gilt dann
[mm] $\bruch{|x-x_0|}{|1+x\,x_0|}\le |x-x_0| [/mm] $
und
[mm] $\arctan\ \bruch{|x-x_0|}{|1+x\,x_0|}\le arctan\,|x-x_0| [/mm] $
Letzteres folgt, weil arctan monoton steigend ist.
Weiter ist $\ [mm] arctan\,|x-x_0|\ \le\ |x-x_0| [/mm] $ , da für alle
[mm] z\ge [/mm] 0 die Ungleichung [mm] arctan(z)\le{z} [/mm] erfüllt ist.
Insgesamt ergibt sich aus der Ungleichungskette
die Ungleichung
$\ [mm] |\arctan [/mm] x [mm] -\arctan x_0| \le\ |x-x_0| [/mm] $
Setzen wir [mm] \delta:=min(\varepsilon,|x_0|) [/mm] falls
[mm] x_0\not=0 [/mm] und [mm] \delta:=\varepsilon [/mm] falls [mm] x_0=0,
[/mm]
so folgt:
$\ [mm] |x-x_0|<\delta\ \Rightarrow\ |arctan(x)-arctan(x_0)|<\varepsilon$
[/mm]
Q.E.D.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Weiter ist [mm]\ arctan\,|x-x_0|\ \le\ |x-x_0|[/mm] , da für alle
> [mm]z\ge[/mm] 0 die Ungleichung [mm]arctan(z)\le{z}[/mm] erfüllt ist.
Hallo Al,
und woher kommt
(*) [mm]arctan(z)\le{z}[/mm] für z [mm] \ge [/mm] 0
?
Kommt da nicht vielleicht der Mittelwertsatz zur Hintertür hereinspaziert ?
Im Moment sehe ich nur , dass man (*) mit ebendiesem Satz beweisen kann.
Siehst Du eine weitere Möglichkeit ?
FRED
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> > Weiter ist [mm]\ arctan\,|x-x_0|\ \le\ |x-x_0|[/mm] , da für alle
> > [mm]z\ge[/mm] 0 die Ungleichung [mm]arctan(z)\le{z}[/mm] erfüllt ist.
>
>
> Hallo Al,
>
> und woher kommt
>
> (*) [mm]arctan(z)\le{z}[/mm] für z [mm]\ge[/mm] 0 ?
>
> Kommt da nicht vielleicht der Mittelwertsatz zur Hintertür
> hereinspaziert ?
>
> Im Moment sehe ich nur , dass man (*) mit ebendiesem Satz
> beweisen kann.
>
> Siehst Du eine weitere Möglichkeit ?
>
>
> FRED
Hallo Fred,
ich dachte an die Ungleichungskette sin(x)<x<tan(x) für
spitze Winkel, welche man geometrisch begründen kann.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Weiter ist [mm]\ arctan\,|x-x_0|\ \le\ |x-x_0|[/mm] , da für alle
> > > [mm]z\ge[/mm] 0 die Ungleichung [mm]arctan(z)\le{z}[/mm] erfüllt
> ist.
> >
> >
> > Hallo Al,
> >
> > und woher kommt
> >
> > (*) [mm]arctan(z)\le{z}[/mm] für z [mm]\ge[/mm] 0 ?
> >
> > Kommt da nicht vielleicht der Mittelwertsatz zur Hintertür
> > hereinspaziert ?
> >
> > Im Moment sehe ich nur , dass man (*) mit ebendiesem Satz
> > beweisen kann.
> >
> > Siehst Du eine weitere Möglichkeit ?
> >
> >
> > FRED
>
>
>
> Hallo Fred,
>
> ich dachte an die Ungleichungskette sin(x)<x<tan(x) für
> spitze Winkel, welche man geometrisch begründen kann.
Klar kann man das geometrisch begründen, ich dachte an einen analytschen Beweis
FRED
>
> Gruß Al
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
wow, vielen dank, das war gut und verständlich erklärt:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Mo 28.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Nur zwei kleine Bemerkungen:
1. Soweit ich mich erinnere, gilt das Additionstheorem
[mm]\arctan x -\arctan x_0 = \arctan \bruch{x-x_0}{1+x\,x_0} [/mm]
nur für [mm] $|x|,|x_0|<1$, [/mm] damit kein Vorzeichenwechsel beim Pol dazwischenkommt.
Das ist keine wirkliche Einschränkung, da man den Definitionsbereich zum Beispiel über
[mm] \arctan x = \arccot \bruch{1}{x} = \bruch{\pi}{2} - \arctan \bruch{1}{x} [/mm]
passend abbilden kann und daher der Arkustangens in [mm] $(1,\infty)$ [/mm] stetig ist, wenn er in $(0,1)$ stetig ist (und umgekehrt).
2. Mit dem Additionstheorem oben bekomme ich kostenlos die Aussage, dass der Arkustangens in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, wenn er im Nullpunkt stetig ist: sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine beliebige Folge mit Grenzwert [mm] $x_0$. [/mm] Dann ist
[mm] \left(\bruch{x_n-x_0}{1+x_n\,x_0}\right)_n [/mm]
eine Nullfolge (eventuell mit Weglassen aller Folgenglieder, für die der Nenner 0 wird). Wenn der Arkustangens im Nullpunkt stetig ist, konvergiert [mm] $\arctan x_n$ [/mm] gegen [mm] $\arctan x_0$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
> Hallo!
>
> Nur zwei kleine Bemerkungen:
>
> 1. Soweit ich mich erinnere, gilt das Additionstheorem
>
> [mm]\arctan x -\arctan x_0 = \arctan \bruch{x-x_0}{1+x\,x_0}[/mm]
>
> nur für [mm]|x|,|x_0|<1[/mm], damit kein Vorzeichenwechsel beim Pol
> dazwischenkommt.
Moment: Die arctan-Funktion hat keinen Pol; sie
bildet [mm] \IR [/mm] auf das Intervall [mm] (-\pi/2\,.....\,\pi/2) [/mm] ab.
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:21 Di 29.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Al!
> > Hallo!
> >
> > Nur zwei kleine Bemerkungen:
> >
> > 1. Soweit ich mich erinnere, gilt das Additionstheorem
> >
> > [mm]\arctan x -\arctan x_0 = \arctan \bruch{x-x_0}{1+x\,x_0}[/mm]
>
> >
> > nur für [mm]|x|,|x_0|<1[/mm], damit kein Vorzeichenwechsel beim Pol
> > dazwischenkommt.
>
>
>
> Moment: Die arctan-Funktion hat keinen Pol; sie
> bildet [mm]\IR[/mm] auf das Intervall [mm](-\pi/2\,.....\,\pi/2)[/mm] ab.
Sorry, das ist richtig, ich meinte den Pol des Tangens bzw. die mögliche Mehrdeutigkeit der Umkehrfunktion:
Wenn zum Beispiel $x>1$ und [mm] $x_0<-1$ [/mm] ist, so ist der Wert der linken Seite [mm] $>\pi/2$, [/mm] die rechte aber [mm] $<\pi/2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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> Sorry, das ist richtig, ich meinte den Pol des Tangens bzw.
> die mögliche Mehrdeutigkeit der Umkehrfunktion:
>
> Wenn zum Beispiel [mm]x>1[/mm] und [mm]x_0<-1[/mm] ist, so ist der Wert der
> linken Seite [mm]>\pi/2[/mm], die rechte aber [mm]<\pi/2[/mm].
>
> Viele Grüße
> Rainer
Hallo Rainer,
du meinst wohl linke Seite >0 und rechte Seite <0
Die Formel gilt also nur unter Einschränkungen.
Genau um solche Fälle auszuschließen, wo $x$ und [mm] x_0
[/mm]
entgegengesetztes Vorzeichen haben, habe ich
[mm] \delta:=min(\varepsilon,|x_0|) [/mm] definiert und nicht einfach [mm] \delta:=\varepsilon [/mm] (was
bei genauer Betrachtung des Graphs von arctan
allerdings ebenfalls genügen würde).
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:08 Di 29.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Al!
> > Sorry, das ist richtig, ich meinte den Pol des Tangens bzw.
> > die mögliche Mehrdeutigkeit der Umkehrfunktion:
> >
> > Wenn zum Beispiel [mm]x>1[/mm] und [mm]x_0<-1[/mm] ist, so ist der Wert der
> > linken Seite [mm]>\pi/2[/mm], die rechte aber [mm]<\pi/2[/mm].
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
>
> Hallo Rainer,
>
> du meinst wohl linke Seite >0 und rechte Seite <0
Nein, ich meinte das genauso wie geschrieben. Setz mal $x=2$ und [mm] $x_0=-2$ [/mm] ein: Links steht dann [mm] $2\arctan [/mm] 2$, rechts aber [mm] $\arctan(2/5)$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo Al!
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> > > Sorry, das ist richtig, ich meinte den Pol des Tangens bzw.
> > > die mögliche Mehrdeutigkeit der Umkehrfunktion:
> > >
> > > Wenn zum Beispiel [mm]x>1[/mm] und [mm]x_0<-1[/mm] ist, so ist der Wert der
> > > linken Seite [mm]>\pi/2[/mm], die rechte aber [mm]<\pi/2[/mm].
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Rainer
> >
> >
> > Hallo Rainer,
> >
> > du meinst wohl linke Seite >0 und rechte Seite <0
>
> Nein, ich meinte das genauso wie geschrieben. Setz mal [mm]x=2[/mm]
> und [mm]x_0=-2[/mm] ein: Links steht dann [mm]2\arctan 2[/mm], rechts aber
> [mm]\arctan(2/5)[/mm].
>
> Viele Grüße
> Rainer
Links: $\ [mm] 2\, arctan\,(2)>\pi/2>0$ [/mm] einverstanden
Rechts: $\ [mm] arctan\,\frac{x-x_0}{1+x*x_0}\ [/mm] =\ [mm] arctan\,\frac{2-(-2)}{1+2*(-2)}\ [/mm] =\ [mm] arctan\,\frac{4}{-3}\ [/mm] =\ [mm] -arctan\,\frac{4}{3}<0<\pi/2$
[/mm]
Gruß und schönen Abend !
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mi 30.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Al,
du hast natürlich recht.
Rainer
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> 1. Soweit ich mich erinnere, gilt das Additionstheorem
>
> [mm]\arctan x -\arctan x_0 = \arctan \bruch{x-x_0}{1+x\,x_0}[/mm]
>
> nur für [mm]|x|,|x_0|<1[/mm], damit kein Vorzeichenwechsel beim Pol
> dazwischenkommt.
Hallo Rainer,
die Gleichung gilt, falls $\ [mm] x*x_0\,>\,-1$ [/mm] ist.
Lieben Gruß Al
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Hallo,
als ein vom Wert des jeweiligen [mm] x_0 [/mm] unabhängiges [mm] \delta
[/mm]
könnte man folgendes nehmen:
[mm] $\delta:=min\begin{Bmatrix} \varepsilon/2 ,\ 1 \end{Bmatrix} [/mm] $
Damit vermeidet man die sehr kleinen [mm] \delta [/mm] - Werte im
Fall $0\ <\ [mm] |x_0|\ [/mm] <<\ 1$ .
LG Al
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