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| Aufgabe | | Zeigen Sie: für n [mm] \in \IN, [/mm] n > 3 gilt: [mm] n^{2} \le 2^{n}. [/mm] |
Hallo !
Bräuchte hier mal eure fachmännische Hilfe, bei dieser Aufgabe.
Also ich denk mal, daß kann man ganz gut mit vollständiger Induktion beweisen. Bloß irgendwie komm ich nicht ganz durch und bleib mitten drin hängen !
Also ich fang einfach mal vorn an:
Induktionsanfang (für n=4)
[mm] 4^{2} \le 2^{4}; [/mm] 16 [mm] \le [/mm] 16 (und dies ist eine wahre Aussage)
Induktionsschritt (Schluß von n auf n+1)
[mm] (n+1)^{2} \le 2^{n+1}; [/mm]
[mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 [mm] \le 2^{n} [/mm] * 2;
[mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 [mm] \le 2^{n} [/mm] + [mm] 2^{n};
[/mm]
So, jetzt ist nach Induktionsvoraussetzung [mm] n^{2} \le 2^{n} \Rightarrow [/mm] ich muss nur noch zeigen, daß 2*n + 1 [mm] \le 2^{n} [/mm] ... Kann man das so sagen ? Ist das denn überhaupt richtig so ?
Wie zeige ich das denn jetzt ? Wieder durch vollständige Induktion ? Oder gibts da noch irgendne andere Möglichkeit ?
Oder hab ich da irgendwo nen Fehler drin !?
Ciao, danke  !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Die Aufgabe zeigt man auf jeden Fall durch vollständige Induktion. Deine Induktionsvoraussetzung ist so richtig, beim Induktionsschritt würde ich genauso beginnen, dann aber folgendermaßen weitermachen:
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n}
[/mm]
Laut Induktionsannahme (für n [mm] \ge [/mm] 4) folgt (durch beidseitige Multiplikation mit 2)
[mm] 2*2^{n} \ge 2*n^{2}
[/mm]
Als nächstes bestimmst du die n, für die gilt: [mm] 2n^{2} \ge (n+1)^{2}, [/mm] sodass gilt
[mm] 2^{n+1} \ge 2*n^{2} \ge (n+1)^{2}
[/mm]
Also: [mm] 2n^{2} \ge n^{2} [/mm] + 2n + 1
Jetzt kommst du sicherlich auch weiter...?!
Ciao, Jan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julchen01 |
Super, danke !
Ja, das hat mir weitergeholfen ...
Aber allein wäre ich da niemals drauf gekommen, dass man das so macht ... :-( !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Do 19.01.2006 | | Autor: | topspin85 |
Die Aufgabe war in ähnlicher Form auf einem unserer Übungsblätter zu lösen. Hat aber auch bei mir damals erstmal eine ganze Weile gedauert, auf den Ansatz zu kommen bzw. es richtig zu interpretieren... Also nicht verzweifeln 
Jan
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