Beweis von Eigenschaften < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Di 09.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Sei $u(x,y)= [mm] U(r,\phi)$ [/mm] mit [mm] $x=r\cdot [/mm] cos [mm] \phi$ [/mm] und $y= r [mm] \cdot \phi [/mm] $ Zeige, dass [mm] $u_{xx}+u_{yy}= U_{rr}+\frac{1}{r}U_r+\frac{1}{r^2}U_{\phi\phi}$ [/mm] gilt. |
Es tut mir leid, aber, ich verstehe hier nicht einmal die Angabe, was soll denn so etwas wie $u_xx$ bedeuten, ich habe leider noch niemals ein annähernd ähnliches Beispiel gesehen und bitte euch, mir ein paar Hinweise zu geben, wie ich das angehen könnte, weil ich wirklich auf der Leitung stehe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Di 09.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
u_xx ist eine Kurzschreibweise für [mm] \bruch{\partial^2(u(x,y)}{\partial x^2}
[/mm]
entsprechend die anderen, ein x unten ist die erste Ableitung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Di 09.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Danke dir für diesen Hinweis!
Ich habe mich übrigens vorher verschrieben und meine natürlich, dass [mm] $y=r\cdot [/mm] sin [mm] \phi$ [/mm] ist.
Um sicherzustellen, dass ich dies auch wirklich richtig verstanden habe, schreib ich mal ein paar Zwischenergebnisse auf:
[mm] $u_{xx}=(0,0)^T [/mm] = [mm] U_{rr}$
[/mm]
[mm] $u_{yy}=(-cos\phi\cdot [/mm] r, [mm] -sin\phi \cdot r)^T [/mm] $
Wenn ich aber so weitermache, komm ich niemals auf die Behauptung, sondern auf ein Widerpsruch.
Was mache ich nun falsch, weiß das jemand von euch?
Ich habe es so verstanden, dass wegen [mm] $u(x,y)=U(r,\phi)$ [/mm] folgt, dass die partielle Ableitung von der Funktion $u$ nach $x$ das gleiche ist wie die partielle Ableitung von $U$ nach $r$, weil ich nämlich keinen blassen Schimma habe, wie ich etwa nach $x$ selbst ableiten soll; wie kann man denn nach $r cos [mm] \phi$ [/mm] ableiten, das ist doch unmöglich!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht, was du da machst, erprob doch , was du machst an ner konkreten Funktion, vielleich siehst du dann was da falsch ist
sowas wie [mm] u(x,y)=x^2y^2+x^3
[/mm]
oder was beliebiges anderes. weder u noch [mm] u_{xx} [/mm] ist ein Vektor, sondern ne Abb von [mm] R^2 [/mm] nach R
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Mi 10.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ich danke dir vielmals, ich habe nun endlich verstanden, worum es geht. Ich habe die Behauptung anhand einer konkreten Funktion nachgewiesen.
Nur, ich würde noch einen Tipp brauchen, wie ich dies für eine beliebige Funktion von [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] zeigen kann. Mit anderen Worten, weiß jemand, wie man die Funktion $u(x,y)$ allgemein aufschreiben kann, sodass wirklich ALLE Funktionen dieser Gestalt darin vorkommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mi 10.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sowas kann man so wenig wie von R nach R. Das Beispiel war doch nur gemeint, damit du deine Fehler merkst, für den Beweis brauchst du nur die Kettenregel. wie leitest du z. Bsp f(x(t)) nach t ab?
Gruss leduart
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