Beweis von Grenzwerten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mo 21.11.2005 | | Autor: | LenaFre |
Hallo zusammen! Ich habe zwei Aufgaben, mit denen ich nicht weiter komme und hoffe ihr könnt mir helfen!
1.) Ich soll im Detail zeigen, dass wenn [mm] (a_{n})n\in\IN [/mm] eine wachsende ,unbeschrängte Folge ist, dann gilt: [mm] a_{n}\to\infty (n\to\infty).
[/mm]
2.) [mm] a_{n} [/mm] ist wieder ein beschränkte Folge: Zeigen Sie: [mm] a_{n}\toa\gdw [/mm] a ist einziger Häufungspunkt [mm] \gdw [/mm] lim sup [mm] a_{n} [/mm] = lim inf [mm] a_{n} [/mm] = a
zu 1) ich habe folgendes überlegt. Angenommen es gibt keine Teilfolge, die gegen + unendlich divergiert. Dann ist + unendlich kein Häufungswert der Folge. Dann gibt es einen größten Häufungswert der entweder aus [mm] \IR [/mm] oder - unendlich.
1.Fall [mm] (\IR) [/mm] Die Folge wäre dann beschränkt.
2.Fall [mm] (-\infty) [/mm] Dann ist die Folge nach oben beschränkt.
zu 2.) Ich weiß nicht, wie ich zeige, dass wenn an gegen a konvergiert a auch einziger Häufungspungt ist.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mo 21.11.2005 | | Autor: | choosy |
Moin moin
> 1.) Ich soll im Detail zeigen, dass wenn [mm](a_{n})n\in\IN[/mm]
> eine wachsende ,unbeschrängte Folge ist, dann gilt:
> [mm]a_{n}\to\infty (n\to\infty).[/mm]
Ich würde sagen, wenn es einen grenzwert gibt, so ist dieser obere schranke der folge (da diese wachsend ist) also ist die folge beschränkt,
was im widerspruch zur voraussetzung steht.
>
> 2.) [mm]a_{n}[/mm] ist wieder ein beschränkte Folge: Zeigen Sie:
> [mm]a_{n}\toa\gdw[/mm] a ist einziger Häufungspunkt [mm]\gdw[/mm] lim sup
> [mm]a_{n}[/mm] = lim inf [mm]a_{n}[/mm] = a
> > zu 2.) Ich weiß nicht, wie ich zeige, dass wenn an gegen a
> konvergiert a auch einziger Häufungspungt ist.
Also seien $b,c$ zwei häufungspunkte von [mm] $a_n$, [/mm] dann ex. Teilfolgen
[mm] $b_n,c_n$ [/mm] von [mm] $a_n$ [/mm] mit [mm] $b_n\rightarrow [/mm] b$ und [mm] $c_n\rightarrow [/mm] c$.
Sei nun [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] bel, dann Ex. [mm] $N_b,N_c\in\IN$ [/mm] mit
[mm] $|b_n-b|<\frac{\varepsilon}{4}$, $n>N_b$
[/mm]
[mm] $|c_n-c|<\frac{\varepsilon}{4}$, $n>N_c$
[/mm]
da es sich um teilfolgen von [mm] $a_n$ [/mm] handelt ex. [mm] $N_a\in\IN$mit
[/mm]
[mm] $|b_n-a|<\frac{\varepsilon}{4}$, $n>N_a$
[/mm]
[mm] $|c_n-a|<\frac{\varepsilon}{4}$, $n>N_a$
[/mm]
also mit [mm] $n:=max{N_a,N_b,N_c}$ [/mm] ist
$|b-c|=|b-a+a-c| [mm] =|b-b_n+b_n-a+a-c_n+c_n-c| \leq |b-b_n|+|b_n-a|+|a-c_n|+|c_n-c|<\varepsilon$, [/mm] $n>N$
also $b=c$
|
|
|
|
