Beweis von Regeln für (Ur)Bild < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mi 09.11.2005 | | Autor: | moonylo |
Hallo,
ich hänge an dieser Aufgabe fest:
Vorraussetzung: X,Y seien Mengen. f: X -> Y ist eine Abbildung. Weiterhin ist A [mm] \subseteq \cal{P}(X).
[/mm]
Z.z.: f ( [mm] \bigcap [/mm] M) [mm] \subseteq \bigcap [/mm] f(M) f. a. M [mm] \in [/mm] A.
Ich habe verschiedene Sachen probiert und das hier kommt mir noch am nähesten dran vor:
Sei q [mm] \in [/mm] f ( [mm] \bigcap [/mm] M)
[mm] \Rightarrow [/mm] q [mm] \in \{ f(z) | z \in \bigcap M\} [/mm] mit M [mm] \in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] q [mm] \in \{ f(z) | \forall M \in A: z \in M\}
[/mm]
Nun komm ich nicht mehr weiter aber im Endeffekt müsste ich kommen auf:
[mm] \Rightarrow [/mm] q [mm] \in \{ f(M) | M \in A}
[/mm]
Abgesehen davon, dass das ne sehr schöne Sache ist, die interessant ist, ist es echt verzwickt. Vielleicht liegts einfach daran, dass es sich zu logisch anhört.. naja, daran muss man sich wohl gewöhnen. Hat wer nen Tip für mich?
Ich hatte noch die Idee zu probieren, dass wenn die Definitionsmenge links in der Definitionsmenge rechts enthalten wär, dass dann auch folgt, dass die Bildmenge enthalten ist. Finde dafür aber keinen Ansatz.
Ein Beispiel dafür zu finden, dass es umgekehrt nicht enthalten ist, war nicht schwer.. aber auf diesen Gedankengang komm ich einfach nicht..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mi 09.11.2005 | | Autor: | moonylo |
Ich hab nun einen Weg gefunden, die Frage ist nur noch, ob das so ausreicht:
Bis hierhier ist es ja einfach zu vereinfachen:
[mm] \gdw [/mm] q [mm] \in \{f(z)|z \in \bigcap M mit M \in A\}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] q [mm] \in \{(z,y')|z \in M mit M \in A, y' \in Y: (z,y') \in f\}
[/mm]
Da f eine Abbildung ist:
[mm] \Rightarrow [/mm] q [mm] \in \{(M,y'')|M \in A, y'' \in Y: (M,y'') \in f\}
[/mm]
[gdw gilt hier nicht, nur für M = z.. oder f ist injektiv]
[mm] \gdw [/mm] q [mm] \in \bigcap [/mm] f(M) mit M [mm] \in [/mm] A.
Fehlt da was? ist da was ungenau? muss ich eventuell hinschreiben warum das mit der Abbildung darauf folgt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich komme mit deiner Schreibweise nicht so ganz klar, aber auf jeden Fall lässt sich die Aussage wie folgt zeigen:
$y [mm] \in [/mm] f [mm] \left( \bigcap\limits_{M \in {\cal A}} M\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \quad \exists [/mm] x [mm] \in \bigcap\limits_{M \in {\cal A}} M\, :\, [/mm] f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow \quad \forall [/mm] M [mm] \in {\cal A}\, \exists [/mm] x [mm] \in M\, [/mm] : [mm] \, [/mm] f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow \quad \forall [/mm] M [mm] \in {\cal A}\, [/mm] : [mm] \, [/mm] y [mm] \in [/mm] f(M)$
[mm] $\Rightarrow \quad [/mm] y [mm] \in \bigcap\limits_{M \in {\cal A}} [/mm] f(M)$.
Liebe Grüße
Stefan
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