Beweis von Rekursion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Fr 07.02.2014 | | Autor: | gnolle |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Rekursion [mm] a_{n+1}= [/mm] 3 [mm] a_{n} [/mm] +4* [mm] 2^{n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 0 mit [mm] a_{0} [/mm] = 0.
Zeigen Sie, dass für A(x):= [mm] \summe_{n \ge 0}^{}a_{n} x^{n} [/mm] gilt: A(x)=(4x)/((1-3x)(1-2x)) . |
Ehrlich gesagt ist mir nicht klar, was ich hier machen soll. Ich vermute mal, dass ein Induktionsbeweis erwartet wird, aber ich hab ziemliche Probleme wie ich da vorgehen soll. (Wie das grundsätzlich funktioniert weiß ich schon.)
Das erste, was mir nicht einleuchtet ist: A(x) als Summendarstellung ist doch die Summe von n bis [mm] \infty [/mm] .
Mindestens für x [mm] \ge [/mm] 1 müsste die Summe doch divergieren oder?
Wenn ich mir aber die Darstellung als Bruch anschau, dann sieht man aber, dass für x [mm] \ge [/mm] 1 der Bruch sicher nicht gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Ich hab also grundsätzlich ein Verständnisproblem mit dieser Art von Aufgaben, Google hat mir leider auch nicht geholfen.
Ich wäre froh wenn jemand sich erbarmt und die Vorgehensweise der Teilaufgabe a) erklärt und mir meine Denkfehler zeigt die ich offensichtlich habe.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Betrachten Sie die Rekursion [mm]a_{n+1}=[/mm] 3 [mm]a_{n}[/mm] +4* [mm]2^{n}[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 0 mit [mm]a_{0}[/mm] = 0.
> Zeigen Sie, dass für A(x):= [mm]\summe_{n \ge 0}^{}a_{n} x^{n}[/mm]
> gilt: A(x)=(4x)/((1-3x)(1-2x)) .
>
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> Ehrlich gesagt ist mir nicht klar, was ich hier machen
> soll. Ich vermute mal, dass ein Induktionsbeweis erwartet
> wird, aber ich hab ziemliche Probleme wie ich da vorgehen
> soll. (Wie das grundsätzlich funktioniert weiß ich
> schon.)
Ein Iduktionsbeweis kann doch gar nicht infrage kommen, weil hier keine Aussage für natürliche Zahlen nachgewiesen werden soll.
Es ist immer eine gute Idee, sich klar zu machen, was eigentlich zu zeigen ist, bevor man Überlegungen (oder hast du nur reflexartig geraten als du den Buchstaben n in der Aufgabenstellung gesehen hast) anstellt, wie der Beweis denn geführt werden könnte.
Es wird eine Potenzreihe A(X) definiert und du sollst jetzt eine Aussage über diese Funktion A nachweisen. Dieser Nachweis wird die Definition der Koeffizienten [mm] a_n [/mm] benötigen, die in der Aufgabenstellung angegeben ist.
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> Das erste, was mir nicht einleuchtet ist: A(x) als
> Summendarstellung ist doch die Summe von n bis [mm]\infty[/mm] .
>
> Mindestens für x [mm]\ge[/mm] 1 müsste die Summe doch divergieren
> oder?
>
Methode Newton : "Darüber mache ich mir eventuell am Schluss Gedanken, wenn der Rest erledigt ist."
(Wenn die [mm] a_n [/mm] hinreichend schnell klein werden, kann die Reihe auch für große x-Werte einen endlichen Wert haben.)
> Wenn ich mir aber die Darstellung als Bruch anschau, dann
> sieht man aber, dass für x [mm]\ge[/mm] 1 der Bruch sicher nicht
> gegen [mm]\infty[/mm] geht.
>
> Ich hab also grundsätzlich ein Verständnisproblem mit
> dieser Art von Aufgaben, Google hat mir leider auch nicht
> geholfen.
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> Ich wäre froh wenn jemand sich erbarmt und die
> Vorgehensweise der Teilaufgabe a) erklärt und mir meine
> Denkfehler zeigt die ich offensichtlich habe.
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du musst hier die Reihe so umschreiben, dass du die Rekursion einsetzen kannst. Weil [mm] a_0=0 [/mm] ist, steht eigentlich da: [mm] A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n=\summe_{n=1}^{\infty}a_n*x^n=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n+1}*x^{n+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(3a_n+2*2^{n+1})*x^{n+1}=...
[/mm]
Einen Teil der Reihe wieder in der Form A(x) schreiben, einen Teil als geometrische Reihe auswerten, den Teil mit A(x) auf die linke Seite bringen, ausklammern und dividieren, dann hast du's geschafft.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Fr 07.02.2014 | | Autor: | gnolle |
Hi,
> Betrachten Sie die Rekursion $ [mm] a_{n+1}= [/mm] $ 3 $ [mm] a_{n} [/mm] $ +4* $ [mm] 2^{n} [/mm] $
> für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ 0 mit $ [mm] a_{0} [/mm] $ = 0.
> Zeigen Sie, dass für A(x):= $ [mm] \summe_{n \ge 0}^{}a_{n} x^{n} [/mm] $
> gilt: A(x)=(4x)/((1-3x)(1-2x)) .
>
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> Ehrlich gesagt ist mir nicht klar, was ich hier machen
> soll. Ich vermute mal, dass ein Induktionsbeweis erwartet
> wird, aber ich hab ziemliche Probleme wie ich da vorgehen
> soll. (Wie das grundsätzlich funktioniert weiß ich
> schon.)
Ein Iduktionsbeweis kann doch gar nicht infrage kommen, weil hier keine Aussage für natürliche Zahlen nachgewiesen werden soll.
Es ist immer eine gute Idee, sich klar zu machen, was eigentlich zu zeigen ist, bevor man Überlegungen (oder hast du nur reflexartig geraten als du den Buchstaben n in der Aufgabenstellung gesehen hast) anstellt, wie der Beweis denn geführt werden könnte.
Es wird eine Potenzreihe A(X) definiert und du sollst jetzt eine Aussage über diese Funktion A nachweisen. Dieser Nachweis wird die Definition der Koeffizienten $ [mm] a_n [/mm] $ benötigen, die in der Aufgabenstellung angegeben ist.
Du hast recht, Induktion war da komplett fehl am Platz. Darauf gekommen bin ich, weil wir in Diskreter Mathematik bisher nur Induktionsbeweise hatten, einen Beweis in deiner Form habe ich so auch noch nicht gesehen muss ich sagen, Ich bin bei meiner Klausurvorbereitung auf die Aufgabe gestoßen und wusste nicht wie man da rangehen kann.
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> Das erste, was mir nicht einleuchtet ist: A(x) als
> Summendarstellung ist doch die Summe von n bis $ [mm] \infty [/mm] $ .
>
> Mindestens für x $ [mm] \ge [/mm] $ 1 müsste die Summe doch divergieren
> oder?
>
Methode Newton : "Darüber mache ich mir eventuell am Schluss Gedanken, wenn der Rest erledigt ist."
(Wenn die $ [mm] a_n [/mm] $ hinreichend schnell klein werden, kann die Reihe auch für große x-Werte einen endlichen Wert haben.)
Das stimmt natürlich, aber wenn man nicht zur Lösung kommt ist das etwas was ein zusätzlich verwirrt.
> Wenn ich mir aber die Darstellung als Bruch anschau, dann
> sieht man aber, dass für x $ [mm] \ge [/mm] $ 1 der Bruch sicher nicht
> gegen $ [mm] \infty [/mm] $ geht.
>
> Ich hab also grundsätzlich ein Verständnisproblem mit
> dieser Art von Aufgaben, Google hat mir leider auch nicht
> geholfen.
>
> Ich wäre froh wenn jemand sich erbarmt und die
> Vorgehensweise der Teilaufgabe a) erklärt und mir meine
> Denkfehler zeigt die ich offensichtlich habe.
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du musst hier die Reihe so umschreiben, dass du die Rekursion einsetzen kannst. Weil $ [mm] a_0=0 [/mm] $ ist, steht eigentlich da: $ [mm] A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}x^n=\summe_{n=1}^{\infty}a_n\cdot{}x^n=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n+1}\cdot{}x^{n+1}=\summe_{n=0}^{\infty}(3a_n+2\cdot{}2^{n+1})\cdot{}x^{n+1}=... [/mm] $
Einen Teil der Reihe wieder in der Form A(x) schreiben, einen Teil als geometrische Reihe auswerten, den Teil mit A(x) auf die linke Seite bringen, ausklammern und dividieren, dann hast du's geschafft.
Gruß Sax.
Sehr gute Hilfe muss ich sagen, ich hab zwar immer noch eine Weile gebraucht (obwohl deine Anleitung echt gut war im Nachhinein), auf jeden Fall hab ich jetzt das gewünschte Resultat auch rausbekommen.
Eine Frage hab ich dazu noch: Wenn ich das als geometrische Reihe umschreibe und dann in die Formel für die Konvergenz einsetze, dann gehe ich doch davon aus, dass |q|<1, also |2x|<1 in dem Fall, gilt oder hab ich da wieder was falsch aufgefasst? Das würde ja bedeuten, dass das nur gilt, falls |x|<0,5. Oder hast Du da einen anderen Weg gewählt als ich?
Jetzt hab ich noch eine Frage zu einer weiterführenden Aufgabe.
Erstmal Aufgabe b): Bestimmen Sie a,b [mm] \in \IR [/mm] mit (4x)/((1-3x)(1-2x)) = a/(1-3x) - b/(1-2x)
Das war natürlich nicht schwer, falls ich mich nicht verrechnet hab kommt a= -4/5 und b=4/5 raus.
Das Ergebnis ist aber auch nicht wichtig, mir geht es um Aufgabe c). Dort heißt es: "Leiten sie daraus eine explizite Formel für [mm] a_{n} [/mm] her.
Hier fehlt mir wieder ein Ansatz. Muss ich die Summe gleich a/(1-3x) - b/(1-2x) setzen? Aber nach was dann Auflösen?
Ich wäre Dir sehr dankbar wenn du da nochmal ein Paar Zeilen schreiben würdest. Ich versteh nicht auf was das hinauslaufen soll bzw. was da gemeint ist.
Vielen Dank für die Hilfe bis hier hin, hat mich weitergebracht!!
PS: Wie schreibt man denn Brüche?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das mit dem Konvergenzradius für die Reihe stimmt erst mal: |x|<0,5. Aber beachte beim Dividieren, dass auch x=1/3 ausgeschlossen werden muss.
Wir werden aber gleich sehen, dass 1. der Konvergenzradius noch weiter eingeschränkt werden muss und 2. es gar nicht auf ihn ankommt (solange er positiv ist).
Bei der Partialbruchentwicklung hast du dich verrechnet.
Richtig ist : [mm] \bruch{4x}{(1-3x)*(1-2x)}=\bruch{4}{1-3x}-\bruch{4}{1-2x}
[/mm]
(Nebenbemerkung : Fahr mal mit der Maus über diese Brüche oder klicke sie an, dann siehst du, wie sie geschrieben werden. Tipp: Vorlagen unter dem Eingabefenster benutzen.)
Diese beiden Brüche können nun wieder in (geometrische) Reihen umgewandelt werden : [mm] A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(4*(3x)^n)-\summe_{n=0}^{\infty}(4*(2x)^n)=[zusammenfassen]=\summe_{n=0}^{\infty}b_n*x^n
[/mm]
Nun müssen die [mm] b_n [/mm] gleich den [mm] a_n [/mm] aus der gegebenen Rekursion sein (Koeffizientenvergleich), wenn die Gleichheit der Reihen für unendlich viele x richtig sein soll. Das ist aber für jeden positiven (hier : r=1/3) Konvergenzradius gewährleistet. Die Rekursion ist somit gelöst.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Sa 08.02.2014 | | Autor: | gnolle |
Ok, ich hab verstanden wie das Prinzip ist. Vielen Dank für deine Geduld. Ich komm mir ziemlich dumm vor. Aber wenn ich nicht frag ändert sich da auch nichts. :)
Nun müssen die $ [mm] b_n [/mm] $ gleich den $ [mm] a_n [/mm] $ aus der gegebenen Rekursion sein (Koeffizientenvergleich), wenn die Gleichheit der Reihen für unendlich viele x richtig sein soll. Das ist aber für jeden positiven (hier : r=1/3) Konvergenzradius gewährleistet. Die Rekursion ist somit gelöst.
Das $ [mm] b_n [/mm] $ gleich $ [mm] a_n [/mm] $ gelten muss ist an sich logisch. Aber was danach kommt erschließt sich mir nicht, wieso ist das für jeden positiven Konvergenzradius gewährleistet? Und wieso darf ich davor die Formel für die Konvergenz benutzen, oder gilt das "zuerst" nur für |x|<0,5 und durch c) wird das für alle x bewiesen?
Wär super wenn Du nochmal erklären könntest wieso das für alle x gilt, obwohl ich davor das nur für |x|<0,5 bewiesen habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich meinte Folgendes :
Wenn für zwei Funktionen f und g Reihenentwicklungen vorliegen: [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*x^n [/mm] und [mm] g(x)=\summe_{n=0}^{\infty}b_n*x^n
[/mm]
und wenn weiter f und g an unendlich vielen Stellen x übereinstimmen f(x)=g(x), dann müssen die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] in den Reihen gleich sein.
(Eventuell muss das mit den unendlich vielen Stellen x noch anders gefordert werden, dass es für alle x aus einem Intervall gelten muss oder so, da müsste man noch mal nachgucken, aber auf jeden Fall trifft das für deine Aufgabe hier zu.)
Die Gleichheit der Reihen gilt doch überall dort, wo sie konvergieren, also für alle x mit |x|<1/3, aber darauf kommt es letztlich nicht an. Wir sind doch nur an der expliziten Formel für die [mm] a_n [/mm] interessiert, nicht an der Funktion A(x). Wenn dir das solche Bauchschmerzen macht, kannst du die Formel [mm] a_n=4*(3^n-2^n) [/mm] ja noch mit Induktion verifizieren.
Gruß Sax.
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