Beweis von Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:04 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Bukhar |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Stetigkeit von:
[mm] f(x)=\begin{cases}
0, & \mbox{für } \left| x \right| \mbox{ >= 1} \\
e^{ \frac{1}{x^2-1}}, & \mbox{für } \left| x \right| \mbox{ <1 }
\end{cases}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag,
Zu oben genannter Aufgabe habe ich nun darin Unterschieden, dass die Funktion außerhalb des Intervalls ]-1,1[ konstant 0 ist und somit stetig.
Das ich nun für x<1 die Stetigkeit beweisen muss, ist mir auch klar, und das bekomme ich ebenfalls hin.
Meine Frage ist nun dazu:
Ich muss, damit ich die Stetigkeit beweisen kann, nun [mm] \liminf_{x \to -1}f(x) [/mm] und [mm] \limsup_{x \to 1}f(x) [/mm] berechnen.
Dies stößt bei mir jedoch auf ein Problem, nämlich wie ich den Limes von [mm] e^{\frac{1}{x^2-1}} [/mm] in diesem Fall sinnvoll berechnen kann. Mein weiteres Problem dazu ist, dass meines Erachtens (Abschätzen im Kopf) der Grenzwert dieses Ausdruckes gegen Unendlich geht, und somit nicht gegen 0. Dies würde doch die Unstetigkeit der Funktion bedeuten, aber ich soll die Stetigkeit beweisen?
Vielen Dank für ihre Geduld und ihre Hilfe. Ich bin neu hier, und hoffe, dass ich sie nicht allzusehr störe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Stetigkeit von f ist nur in den Punkten x=1 und x=-1 zu untersuchen.
Nehmen wir uns mal x=1 vor:
Klar dürfte sein: [mm] $\limes_{x\rightarrow 1+0}f(x) [/mm] = 0= f(1)$
Für x [mm] \in [/mm] (-1,1) ist [mm] \bruch{1}{x^2-1}<0, [/mm] also [mm] $\bruch{1}{x^2-1} \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] 1-0$.
Somit: [mm] $e^{\bruch{1}{x^2-1}} \to [/mm] 0$ für $x [mm] \to [/mm] 1-0$.
Fazit: [mm] $\limes_{x\rightarrow 1+0}f(x) [/mm] = 0= f(1)= [mm] \limes_{x\rightarrow 1-0}f(x)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Do 13.05.2010 | | Autor: | Bukhar |
Hallo Fred,
ich danke dir vielmals für deine Hilfe. Der Hinweis, dass
ja der Betrag von [mm] x^2 [/mm] kleiner als 1 in diesem Fall ist, hat
mir echt sehr geholfen!
Alles Liebe
Tony
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