Beweis von Ungleichungen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Do 27.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
| Aufgabe | Seien a,b,c [mm] \in \IR. [/mm] Beweisen Sie:
1. Es gilt [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} \ge [/mm] 2ab
2. Es gilt [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} \ge [/mm] ab + bc + ca
3. Ist a + b + c [mm] \ge, [/mm] so folgt [mm] a^{3} [/mm] + [mm] b^{3} [/mm] + [mm] c^{3} \ge [/mm] 3abc |
Hallo Zusammen,
ich wollte mich gerade der ersten Teilaufgabe widmen.
Mein Ansatz ist
Seien a,b = 1
1 + 1 [mm] \ge [/mm] 2 * 1 * 1
Dann könnte man ja eine vollständige Induktion machen. Aber die darf ich doch eigentlich nur im Raum der natürlichen Zahlen anwenden.
Jetzt weiß ich nicht, wie ich den Beweis formulieren soll.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Im Voraus vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Seien a,b,c [mm]\in \IR.[/mm] Beweisen Sie:
>
> 1. Es gilt [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2} \ge[/mm] 2ab
> 2. Es gilt [mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2}[/mm] + [mm]c^{2} \ge[/mm] ab + bc + ca
> 3. Ist a + b + c [mm]\ge,[/mm] so folgt [mm]a^{3}[/mm] + [mm]b^{3}[/mm] + [mm]c^{3} \ge[/mm]
> 3abc
> Hallo Zusammen,
>
> ich wollte mich gerade der ersten Teilaufgabe widmen.
>
> Mein Ansatz ist
> Seien a,b = 1
> 1 + 1 [mm]\ge[/mm] 2 * 1 * 1
> Dann könnte man ja eine vollständige Induktion machen.
> Aber die darf ich doch eigentlich nur im Raum der
> natürlichen Zahlen anwenden.
So ist es
[mm]a^{2}[/mm] + [mm]b^{2} \ge[/mm] 2ab [mm] \gdw a^2-2ab+b^2 \ge [/mm] 0 [mm] \gdw (a-b)^2 \ge [/mm] 0
Hats geklingelt ?
FRED
>
> Jetzt weiß ich nicht, wie ich den Beweis formulieren soll.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
>
> Im Voraus vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Do 27.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
Ja, klar die binomische Fromel da drin hätte ich auch sehen müssen.
Danke!
Den Rest bekomme ich dann ja auch über die Umformung gelöst (hoffe ich)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Do 27.11.2008 | | Autor: | reverend |
Umformungen ja, aber mit trinomischen Formeln, die leicht herzuleiten sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 27.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
Leider tue ich mich jetzt doch schwerer als gedacht.
zu Teilaufgabe 2:
[mm] \gdw a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm] -ab -bc -ca [mm] \ge [/mm] 0
das ist aber leider nicht
[mm] \dgw [/mm] (a + b + [mm] c)^{2} [/mm] denn das ist ja [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm] +2ab +2bc +2ca
zu Teilaufgabe 3:
hab ich nicht so wirklich eine Idee
(a + [mm] b)^{3} [/mm] = [mm] a^{3} [/mm] + [mm] 3a^{2}b [/mm] + 3ab + [mm] b^{3} [/mm] ist klar. Es bringt mir aber nichts hier noch c einzuhängen. Dann hätte ich ja wieder mehr [mm] 3a^{n}b [/mm] als ich eigentlich möchte
Bin ich jetzt auf dem falschen Weg?
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Hallo!
Ich denke, wir stimmen überein wenn ich sage:
[mm] (a-b)^{2} [/mm] + [mm] (b-c)^{2} [/mm] + [mm] (a-c)^{2} \ge [/mm] 0
Multipliziere mal die gesamte linke Seite aus und rechne durch 2....
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Do 27.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
Hi Stefan!
100% einverstanden 
aber irgendwie fehlt mir noch der Blick dafür. Aber Übung macht ja den Meister...
Erstmal Danke
Lou
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Hallo!
Um bei c) Überlegungen anzustellen, wäre es gut, wenn du es nochmal "richtig" hinschreiben könntest. Was gilt für a+b+c?
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Do 27.11.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Lou,
da habe ich vorschnell einen Tipp gegeben, der in die Irre führt. Entschuldigung! steppenhahns Empfehlung ist natürlich viel besser.
Für die dritte Aufgabe hilft Dir aber vielleicht dies weiter:
[mm] \a{}(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3-6abc
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 27.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
Hi reverend,
sorry da klingelt nichts
wenn ich versuche das nachzuvollziehen komme ich nicht auf die -6abc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Do 27.11.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Stefan,
ich glaub, ich geh schonmal in Rente...
Gute Idee!
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Hallo!
Wenn du eine Aussage äquivalent in eine offensichtlich wahre Aussage überführen kannst, ist auch die Ausgangsaussage wahr.
Deine Ausgangsaussage ist
[mm] $a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} \ge [/mm] 2*a*b$
Wenn es dir gelingt, diese äquivalent in eine offensichtlich wahre Aussage zu überführen ist auch diese Aussage wahr. Und nun sehen wir ja wegen
[mm] $\gdw a^{2} [/mm] - 2*a*b + [mm] b^{2} \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw (a-b)^{2} \ge [/mm] 0$
Dass am Ende was "offensichtlich" wahres dabei herauskommt, weil eine Quadratzahl immer positiv oder = 0 ist. So werden übrigens auch manche Gleichungssysteme gelöst. Wenn du zum Beispiel sowas hast:
[mm] (x+1)^{2} [/mm] + [mm] (y+1)^{2} [/mm] = 0
So ist die einzige Lösung x = y = -1, weil die Quadrate in diesem Fall nur gleich 0 sein können
Eleganter ist ein Beweis einer Aussage aber eigentlich immer, wenn man schon von bekannt Wahrem zu der Aussage kommt. D.h. man führt den Beweis rückwärts durch:
[mm] $(a-b)^{2} \ge [/mm] 0$ klar
[mm] $\gdw a^{2}-2*a*b+b^{2} \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw a^{2}+b^{2} \ge [/mm] 2*a*b$ q.e.d.
Okay?
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Do 27.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
Hi Stefan!
ja jetzt ist es zu 100% klar. Vielen lieben Dank!
Gruß
Lou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Fr 28.11.2008 | | Autor: | aleksey |
Hallo,
ich komme nicht auf die Lösung der dritten Aufgabe?
Hat einer noch einen weiteren Tipp, außer dass mit der Polynomdivision?
Gruß
Aleks
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> Hallo,
>
> ich komme nicht auf die Lösung der dritten Aufgabe?
> Hat einer noch einen weiteren Tipp, außer dass mit der
> Polynomdivision?
>
> Gruß
> Aleks
Hallo!
[mm] (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3*a*b*c) [/mm] : (a+b+c) = [mm] a^{2}
[/mm]
[mm] -(a^{3}+b*a^{2}+c*a^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] b^{3}+c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-3*a*b*c
[/mm]
[mm] (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3*a*b*c) [/mm] : (a+b+c) = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2}
[/mm]
[mm] -(a^{3}+b*a^{2}+c*a^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (b^{3}+c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-3*a*b*c)
[/mm]
[mm] -(a*b^{2}+b^{3}+c*b^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-a*b^{2}-c*b^{2}-3*a*b*c
[/mm]
[mm] (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3*a*b*c) [/mm] : (a+b+c) = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2}
[/mm]
[mm] -(a^{3}+b*a^{2}+c*a^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (b^{3}+c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-3*a*b*c)
[/mm]
[mm] -(a*b^{2}+b^{3}+c*b^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-a*b^{2}-c*b^{2}-3*a*b*c)
[/mm]
[mm] -(a*c^{2}+b*c^{2}+c^{3})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] -b*a^{2}-c*a^{2}-a*b^{2}-c*b^{2} [/mm] - [mm] a*c^{2}-b*c^{2}-3*a*b*c
[/mm]
Und
[mm] -b*a^{2}-c*a^{2}-a*b^{2}-c*b^{2} [/mm] - [mm] a*c^{2}-b*c^{2}-3*a*b*c [/mm] = [mm] -a^{2}*(b+c) [/mm] - [mm] b^{2}*(a+c) [/mm] - [mm] c^{2}*(a+b) [/mm] - 3*a*b*c
Also:
[mm] (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3*a*b*c) [/mm] : (a+b+c) = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm] - a*(b+c)
[mm] -(a^{3}+b*a^{2}+c*a^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (b^{3}+c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-3*a*b*c)
[/mm]
[mm] -(a*b^{2}+b^{3}+c*b^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-a*b^{2}-c*b^{2}-3*a*b*c)
[/mm]
[mm] -(a*c^{2}+b*c^{2}+c^{3})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (-a^{2}*(b+c) [/mm] - [mm] b^{2}*(a+c) [/mm] - [mm] c^{2}*(a+b) [/mm] - 3*a*b*c)
[mm] -(-a^{2}*(b+c)-a*b*(b+c)-a*c*(b+c))
[/mm]
-------------------------------------
- [mm] b^{2}*c [/mm] - [mm] c^{2}*b [/mm] - a*b*c
[mm] (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3*a*b*c) [/mm] : (a+b+c) = [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm] - a*(b+c) - b*c
[mm] -(a^{3}+b*a^{2}+c*a^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (b^{3}+c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-3*a*b*c)
[/mm]
[mm] -(a*b^{2}+b^{3}+c*b^{2})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (c^{3}-b*a^{2}-c*a^{2}-a*b^{2}-c*b^{2}-3*a*b*c)
[/mm]
[mm] -(a*c^{2}+b*c^{2}+c^{3})
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (-a^{2}*(b+c) [/mm] - [mm] b^{2}*(a+c) [/mm] - [mm] c^{2}*(a+b) [/mm] - 3*a*b*c)
[mm] -(-a^{2}*(b+c)-a*b*(b+c)-a*c*(b+c))
[/mm]
-------------------------------------
[mm] (b^{2}*c [/mm] - [mm] c^{2}*b [/mm] - a*b*c)
[mm] -(b^{2}*c [/mm] - [mm] c^{2}*b [/mm] - a*b*c)
-------------------------------------
0
Also Ergebnis:
[mm] $(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3*a*b*c) [/mm] = [mm] (a+b+c)*(a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm] - a*b- a*c - b*c)$
Und der rechte Faktor ist gerade die schon bewiesene Aufgaben b)...
Ich habe diesen Ansatz vorgeschlagen, weil das mal nicht unbedingt ein "Ansatz" ist, den man hat wenn man die Lösung schon kennt, sondern wo man das Erfolgserlebnis "kommen sieht"
Natürlich könnte ich dir jetzt genau so gut als Tipp geben: Multipliziere mal
[mm] (a+b+c)*(a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm] - a*b- a*c - b*c)$
aus... Aber das halte ich nicht für sinnvoll.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Sa 29.11.2008 | | Autor: | aleksey |
Hallo Stefan,
erstmal viel dank für die schnelle Antwort.
Und deinen Tipp (Polynomdivision) hatte ich verfolgt, doch irgendwie habe ich mich verrechnet und dann aufgegeben.
Jetzt habe ich deine Rechnung nachgerechnet und das stimmt, danke nochmals.
Gruß
Aleks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Do 27.11.2008 | | Autor: | Lou1982 |
upps hab eine 0 vergessen.
3. Ist a + b + c [mm] \ge [/mm] 0, so folgt [mm] a^{3} [/mm] + [mm] b^{3} [/mm] + [mm] c^{3} \ge [/mm] 3abc
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