Beweis von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:42 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Samso |
| Aufgabe | Sei [a,b] ein abgeschlossenes Intervall in [mm] \IR [/mm] und #: [mm] a=x_0
Seien [mm] f_0,...f_{n-1} \in \IR, [/mm]
dann ist eine Treppenfunktion definiert durch f(x) = [mm] f_i [/mm] für x [mm] \in [x_i,x_{i+1}), [/mm] i = 0,...,n-2.
[mm] f(x)=f_{n-1} [/mm] für [mm] x\in [x_{n-1},b]. [/mm]
Wir bezeichnen die Menge aller Treppenfunktionen auf der Zerlegung # mit [mm] S_0( [/mm] #).
Desweiteren definieren wir die Menge
[mm] S_1( [/mm] #) := [mm] \{f \in Abb([a,b],R):f\quad ist\quad eine\quad Gerade \quad auf \quad [xi,xi+1]\quad fuer \quad i =0,...,n-1\quad und\quad stetig \quad an\quad den\quad Uebergangsstellen \quad x_i, i = 1,..n-1\} [/mm]
Die Elemente von [mm] S_1( [/mm] #) sind also die stetigen Polygonzüge auf #.
Man spricht auch von linearen Splines.
Zeigen Sie, dass die Menge
a) M := [mm] S_0( [/mm] #)
b) [mm] M:=S_1( [/mm] #),
c) [mm] M:=\IR^\IN:= Abb(\IN, \IR) [/mm]
ausgestattet mit den punktweise definierten Verknüpfungen
+: MxM ->M,
*: [mm] \IR [/mm] x M ->M,
d.h. [mm] (m_1+(l *m_2))(x) [/mm] = [mm] m_1(x) [/mm] + l * [mm] (m_2(x)) [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] [a,b], für alle [mm] l\in\IR [/mm] und [mm] m_1,m_2 \in [/mm] M,
ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist.
Geben Sie jeweils das additiv neutrale Element so wie das inverse Element zu [mm] m\in [/mm] M an.
Definieren Sie außerdem zwei Abbildungen
[mm] A_0: S_0( [/mm] #) [mm] ->\IR^k [/mm] und
[mm] A_1: S_1 [/mm] ( #) [mm] ->\IR^l [/mm]
für geeignete k,l [mm] \in \IN, [/mm] sodass diese bijektiv sind. |
Hallo, also ich habe gerade mit meinem Technomathestudium begonnen und diese Aufgabe treibt mich in den Wahnsinn. Ich bin is jetzt so weit:
M ist ein Unterraum von dem Vektorraum R.
Auf R gelten die 8 Axiome, die einen Vektorraum definieren (obwohl ich beim Beweisen scheitere). Für de UNterraum muss also noch folgendes gelten:
Er darf nicht leer sein, wenn u,v Element des Unterraums sind, dann ist auch u+v Element des UNterraums und wenn l Element R ist und v Element U dann muss l * v auch Element U sein.
Nur weiss ich leider nicht wie ich das beweisen soll?
Kann mir bitte jemand helfen?
Schon mal vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Mo 27.10.2014 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
Die Aufgabe ist (ohne Formeleditor) kaum lesbar.
Gruß Thomas
|
|
|
| |
|
> Hallo, also ich habe gerade mit meinem Technomathestudium
> begonnen und diese Aufgabe treibt mich in den Wahnsinn.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Damit sie nicht auch noch andere in den Wahnsinn treibt,
und damit Du eine gewisse Chance auf eine Antwort hast, habe ich den Aufgabentext mal bearbeitet - eine Serviceleistung von uns für Dich als Newbie, und eine Wohltat, die Dir in Zukunft nicht mehr oft zuteil werden wird.
Mach Dich unbedingt mit der Formeleingabe im Forum vertraut.
Unter dem Eingabefenster findest Du Hilfen.
Weiter möchte ich Dich generell um Sorgfalt beim Abfassen der Texte bitten. Ich habe eine Menge von Tippfehlern aus dem Aufgabentext entfernt.
Prüfe, ob im Aufgabentext nun alles so steht, wie es vom Aufgabensteller geplant war.
LG Angela
|
|
|
| |
|
> Sei [a,b] ein abgeschlossenes Intervall in [mm]\IR[/mm] und #:
> [mm]a=x_0
> festes n [mm]\in \IN.[/mm]
> Seien [mm]f_0,...f_{n-1} \in \IR,[/mm]
> dann ist eine Treppenfunktion definiert durch f(x) = [mm]f_i[/mm]
> für x [mm]\in [x_i,x_{i+1}),[/mm] i = 0,...,n-2.
> [mm]f(x)=f_{n-1}[/mm] für [mm]x\in [x_{n-1},b].[/mm]
> Wir bezeichnen die Menge aller Treppenfunktionen auf der
> Zerlegung # mit [mm]S_0([/mm] #).
> Desweiteren definieren wir die Menge
> [mm]S_1([/mm] #) := [mm]\{f \in Abb([a,b],R):f\quad ist\quad eine\quad Gerade \quad auf \quad [xi,xi+1]\quad fuer \quad i =0,...,n-1\quad und\quad stetig \quad an\quad den\quad Uebergangsstellen \quad x_i, i = 1,..n-1\}[/mm]
> Die Elemente von [mm]S_1([/mm] #) sind also die stetigen
> Polygonzüge auf #.
> Man spricht auch von linearen Splines.
>
> Zeigen Sie, dass die Menge
> a) M := [mm]S_0([/mm] #)
> b) [mm]M:=S_1([/mm] #),
> c) [mm]M:=\IR^\IN:= Abb(\IN, \IR)[/mm]
> ausgestattet mit den punktweise definierten Verknüpfungen
> +: MxM ->M,
> *: [mm]\IRxM->M,[/mm]
> d.h. [mm](m_1+(l *m_2))(x)[/mm] = [mm]m_1(x)[/mm] + l * [mm](m_2(x))[/mm] für alle
> [mm]x\in[/mm] [a,b], für alle [mm]l\in\IR[/mm] und [mm]m_1,m_2 \in[/mm] M,
> ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist.
>
> Geben Sie jeweils das additiv neutrale Element so wie das
> inverse Element zu [mm]m\in[/mm] M an.
>
> Definieren Sie außerdem zwei Abbildungen
>
> [mm]A_0: S_0([/mm] #) [mm]->\IR^k[/mm] und
> [mm]A_1: S_1[/mm] ( #) [mm]->\IR^l[/mm]
> für geeignete k,l [mm]\in \IN,[/mm] sodass diese bijektiv sind.
>
> Hallo, also ich habe gerade mit meinem Technomathestudium
> begonnen und diese Aufgabe treibt mich in den Wahnsinn. Ich
> bin is jetzt so weit:
Hallo,
nun solltest Du uns erstmal verraten, ob Du Teilaufgabe a), b) oder c) bearbeitest.
> M ist ein Unterraum von dem Vektorraum R.
Falls Du mit R in Wahrheit [mm] \IR [/mm] meinst, ist das ganz sicher nicht der Fall:
in allen Teilaufgaben ist M eine Menge, deren Elemente Funktionen sind.
Es ist nun die Frage, ob in der Vorlesung/Übung bereits bewiesen wurde, daß [mm] Abb([a,b],\IR) [/mm] zusammen mit der punktweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren ein VR ist.
(Die Vektoren=Elemente des Vektorraumes sind hier also Funktionen)
Sofern dies geschehen ist, kannst Du in a) und b) tatsächlich zeigen, daß es sich um Unterräume handelt.
Bevor es hier weitergeht, sollten wir die bisher aufgetretenen Fragen erstmal klären.
LG Angela
> Auf R gelten die 8 Axiome, die einen Vektorraum definieren
> (obwohl ich beim Beweisen scheitere). Für de UNterraum
> muss also noch folgendes gelten:
> Er darf nicht leer sein, wenn u,v Element des Unterraums
> sind, dann ist auch u+v Element des UNterraums und wenn l
> Element R ist und v Element U dann muss l * v auch Element
> U sein.
> Nur weiss ich leider nicht wie ich das beweisen soll?
> Kann mir bitte jemand helfen?
> Schon mal vielen Dank im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 08:43 Di 28.10.2014 | | Autor: | Samso |
Hallo Angela,
laut unserem Übungsleiter geht a,b, und c in einem, deswegen habe ich das jetzt nicht getrennt. Aber ich muss zeigen, dass M jeweils ein Unterraum ist. Wenn jetz [mm] \IR [/mm] nicht der zugehöriger Vektorraum ist, welcher ist es dann?
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> laut unserem Übungsleiter geht a,b, und c in einem,
> deswegen habe ich das jetzt nicht getrennt.
Hallo,
auf so etwas würde ich mich nicht von vornherein verlassen.
Zusammenfassen kann man es, wenn man festgestellt hat, daß es sich wirklich nicht unterscheidet, am Ende, also für den Aufschrieb zum Abgeben, dann ja immer noch.
Ein kleines bissele habe ich auch Zweifel, daß wirklich alles ganz gleich ist...
> Aber ich muss
> zeigen, dass M jeweils ein Unterraum ist.
Lt. Aufgabenstellung sollst Du jeweils zeigen, daß M ein Vektorraum ist.
Du könntest jetzt also dahergehen und zeigen, daß alle Vektorraumaxiome gelten.
> Wenn jetz [mm]\IR[/mm]
> nicht der zugehöriger Vektorraum ist, welcher ist es dann?
Warum [mm] \IR [/mm] sicher nicht der Vektorraum ist, dessen Unterraum die Menge M jeweils ist, habe ich ja schon erklärt.
Ich habe sogar einen Vektorraum genannt, dessen Unterraum in a) und b) die Menge M ist, nämlich [mm] Abb([a,b],\IR), [/mm] und ich hatte Dich gefragt, ob Ihr bereits bewiesen habt, daß dies mit den Verknüpfungen aus der Aufgabe ein Vektorraum ist.
Habt Ihr es bewiesen?
Oder habt Ihr bewiesen, daß für jede Teilmenge [mm] X\subseteq \IR [/mm] die Menge [mm] Abb(X,\IR) [/mm] mit den angegebenen Verknüpfungen ein Vektorraum ist?
Diese Aussage könnte man für alle drei Teilaufgaben gebrauchen.
Bevor es losgeht, müßten wir wirklich wissen, was dran war. Sonst machen wir zu viel (nervig) oder zu wenig (gewinnt man keinen Blumentopf mit).
Unabhängig davon:
es geht hier um [mm] \IR-Vektorräume,
[/mm]
und ich habe den Eindruck, daß Du die "Zutaten" eines Vektorraumes noch nicht verstanden hast.
Zu einem Vektorraum gehört immer eine Menge V (die Vektoren), ein Körper K (die Skalare), eine Addition, welche aus zwei Elementen von V wieder ein Element aus V macht, und eine Multiplikation mit Skalaren, welche ein Körperelement mit einem Vektor so verknüpft, daß wieder ein Vektor herauskommt.
Wenn diese Verknüpfungen den Vektorraumaxiomen gehorchen, so hat man einen Vektorraum.
In der Dir vorliegenden Aufgabe sind die Vektoren Funktionen,
und der Körper, der im Spiel ist, ist der Körper der reellen Zahlen, [mm] \IR.
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Di 28.10.2014 | | Autor: | Samso |
Hallo Angela,
auch das mit dem Beweis der Axiome habe ich schon versucht. Nur komme ich da auch nicht weiter, wenn man zum Beispiel die Kommutativität beweisen will: x+y=y+x, habe ich keine Ahnung wie das jetzt bewiesen sein soll. Wir haben gesagt, dass jede Abbildung ein Vektorraum ist, mehr nicht. Beweise haben wir mit Vektoren noch gar nicht gemacht.
Ich könnte jetzt also einfach beweisen, dass c) ein Vektorraum ist und a,b Unterräume?
Ich weiss nur leider gar nicht, wie man die Axiome beweisen soll. Das sie gelten müssen ist mir klar, aber da ich nur abstraktes habe, tue ich mir schwer.
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> auch das mit dem Beweis der Axiome habe ich schon versucht.
> Nur komme ich da auch nicht weiter, wenn man zum Beispiel
> die Kommutativität beweisen will: x+y=y+x, habe ich keine
> Ahnung wie das jetzt bewiesen sein soll.
Hallo,
das ist nicht schwer, und ich helfe Dir gerne dabei,
aber wir müssen wirklich erstmal die Unklarheiten klären.
> Wir haben gesagt,
> dass jede Abbildung ein Vektorraum ist,
Nein.
Das habt Ihr bestimmt nicht gesagt.
Jedenfalls nicht der Professor.
Eine Abbildung kann doch kein Vektorraum sein...
Ihr habt sicher eine Menge gehabt, welche gewisse Abbildungen enthält,
und von der würde dann gesagt, daß sie zusammen mit den Verknüpfungen Deiner Aufgabe einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] bildet.
Und auf diese Menge bin ich nun gespannt.
Du mußt sie doch im Skript oder in Deiner Mitschrift stehen haben. (?)
> Ich könnte jetzt also einfach beweisen, dass c) ein
> Vektorraum ist und a,b Unterräume?
Nein.
Eine grundlegenden Voraussetzung dafür, daß irgendetwas ein Untervektorraum von was anderem ist, ist, daß die unterraumverdächtige Menge eine Teilmenge der anderen Menge ist.
Das ist hier aber nicht der Fall:
in a) und b) haben wir Mengen, die gewisse Funktionen, die von [a,b] nach [mm] \IR [/mm] abbilden, enthalten,
in c) hingegen enthält die Menge alle Funktionen,
die von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR [/mm] abbilden.
So.
Irgendwie muß es hier jetzt mal losgehen.
Ich gehe jetzt einfach, da Du nicht genau sagst, wovon man ausgehen darf, davon aus, daß dies gezeigt wurde:
Sei [mm] X\subseteq \IR,
[/mm]
und sei
[mm] Abb(X,\IR):=\{f|f:X\to \IR\} [/mm] die Menge aller Abbildungen von X nach [mm] \IR.
[/mm]
Zusammen mit dem Verknüpfungen
+: [mm] Abb(X,\IR)\times Abb(X,\IR)\to Abb(X,\IR),
[/mm]
die für alle f,g [mm] \in Abb(X,\IR) [/mm] durch
(f+g)(x):=f(x)+g(x) f.a. [mm] x\in [/mm] X
definiert ist,
und
[mm] \*:\IR\times Abb(X,\IR)\to Abb(X,\IR),
[/mm]
die für alle [mm] \lambda\in \IR [/mm] und für alle [mm] f\in Abb(X,\IR) [/mm] durch
[mm] (\lambda*f)(x):=\lambda [/mm] f(x) f.a. [mm] x\in [/mm] X
definiert ist,
bildet [mm] Abb(X,\IR) [/mm] einen [mm] \IR-Vektorraum.
[/mm]
Wenn wir das haben, dürfen und können wir mit den Unteraumkriterien arbeiten. (Sie waren dran?)
Zu Aufgabe a):
Es ist das Intervall [a,b] eine Teilmenge von [mm] \IR.
[/mm]
Also wissen wir, nach dem, was ich oben als bekannt voraussetze, daß
[mm] V:=Abb([a,b],\IR) [/mm] mit den Verknüpfungen der Aufgabe
ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist.
Es ist [mm] S_0(#) [/mm] eine Teilmenge von V.
(Weil in [mm] S_0(#) [/mm] gewisse Treppenfunktionen über [a,b] drin sind und in V alle Funktionen über [a,b])
Um zu zeigen, daß [mm] S_0(#) [/mm] ein UVR von V ist, müssen wir die drei UVR-Kriterien zeigen:
1. [mm] S_0(#) [/mm] ist nichtleer
2. Die Summe zweier Elemente aus [mm] S_0(#) [/mm] ist wieder in [mm] S_0(#),
[/mm]
3. Das Produkt eines Elemetes aus [mm] \IR [/mm] mit einem Element aus [mm] S_0(#) [/mm] ist wieder in [mm] S_0(#).
[/mm]
zu 1:
Nenne eine Funktion, die in [mm] S_0(#) [/mm] enthalten ist.
Sie darf sehr einfach sein.
zu 2:
Seien f,g zwei Funktionen aus [mm] S_0(#),
[/mm]
also zwei Treppenfunktionen über der im Aufgabentext angegebenen Zerlegung.
Was wissen wir über diese Funktionen? Dies:
es gibt Zahlen [mm] f_0,...f_{n-1} \in \IR,
[/mm]
mit f(x) = [mm] f_i [/mm] für x [mm] \in [x_i,x_{i+1}), [/mm] i = 0,...,n-2
und
[mm] f(x)=f_{n-1} [/mm] für [mm] x\in [x_{n-1},b],
[/mm]
und es gibt Zahlen [mm] g_0,...g_{n-1} \in \IR,
[/mm]
mit g(x) = [mm] g_i [/mm] für x [mm] \in [x_i,x_{i+1}), [/mm] i = 0,...,n-2
und
[mm] g(x)=g_{n-1} [/mm] für [mm] x\in [x_{n-1},b].
[/mm]
(Die beiden Funktionen sind also über den jeweiligen Teilintervallen konstant.)
Und nun mußt Du die Funktion f+g betrachten und nachweisen, daß auch sie in [mm] S_0(#) [/mm] liegt,
also konstant über den jeweiligen Teilintervallen ist.
Sei dazu [mm] x'\in [x_i,x_{i+1}).
[/mm]
Es ist
(f+g)(x')= ... ... ...
Sei nun x' [mm] \in [x_{n-1},b].
[/mm]
Es ist
(f+g)(x')= ... ... ...
Also ist [mm] f+g\in S_0(#).
[/mm]
zu 3.
ähnlich wie 2.
----
Falls Du die VR-Axiome komplett zeigen willst oder mußt - fast vermute ich, daß Du mußt -
versichere Dich erstmal, daß [mm] S_0(#) [/mm] nichtleer ist, indem Du ein Element aus [mm] S_0(#) [/mm] angibst.
Zeige dann (genauso wie oben) daß f+g für [mm] f,g,\in S_0(#) [/mm] auch in [mm] S_0(#) [/mm] ist,
für die Multiplikation mit Elementen aus [mm] \IR [/mm] entsprechend.
Dann geht's an die Axiome.
1.
Assoziativgesetz:
Seien [mm] f,g,h\in S_0(#).
[/mm]
zu zeigen:
(f+g)+h=f+(g+h).
Bew: sei [mm] x\in [/mm] [a,b].
Es ist
((f+g)+h)(x)= (f+g)(x)+h(x) [mm] \qquad [/mm] nach Def. der punktweisen Addition
=(f(x)+g(x))+h(x) [mm] \qquad [/mm] ... (Grund angeben!)
[mm] =f(x)+(g(x)+h(x)) \qquad [/mm] Assoziativität der Addition in [mm] \IR
[/mm]
=f(x)+ (g+h)(x) [mm] \qquad [/mm] ...
=(f+(g+h))(x) [mm] \qquad [/mm] ...
Für alle [mm] x\in [/mm] [a,b] ist also ((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x).
Also stimmen ((f+g)+h) und (f+(g+h)) aus dem gesamten Wertebereich überein.
Also sind ((f+g)+h) und (f+(g+h)) gleich.
Die Kommutativität kannst Du so ähnlich bewältigen.
Fürs neutrale Element gibst Du eine passende Funktion an und rechnest dann vor, daß diese Funktion wirklich tut, was das neutrale Element tun muß.
Mach mal erstmal so weit.
Nachdenken übers Inverse macht ja erst Sinn, wenn's bis hierher steht.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Di 28.10.2014 | | Autor: | Samso |
Ach ja und das mit der Abbildung ist bekannt, allerdings nicht bewiesen.
PS: vielen Dank fürs Formatieren
|
|
|
| |
|
> Ach ja und das mit der Abbildung ist bekannt,
Hallo,
kannst Du bitte genau formulieren, was Du mit
"das mit der Abbildung"
meinst.
Sag' genau, wie die Dir bekannte Aussage lautet.
Mit Wischiwaschi kommst Du in der Mathematik nicht weiter.
LG Angela
> allerdings
> nicht bewiesen.
|
|
|
|
