Beweis von adäquaten Mengen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Fr 24.10.2014 | | Autor: | tbol.inq |
| Aufgabe | Die Semantik des dreistelligen Verknüpfungszeichens sel ist für Belegung Β und Formeln [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma [/mm] wie folgt definiert.
B ⊨ sel ( [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma) [/mm] genau dann, wenn (1) B erfülltnicht [mm] \alpha [/mm] und B ⊨ [mm] \beta [/mm] oder (2) B ⊨ [mm] \alpha [/mm] und B ⊨ [mm] \gamma [/mm] .
Beweisen Sie, dass {sel,⊥,⊤} eine adäquate Menge von Verknüpfungszeichen ist. |
Ich habe gerade ein Master Studium (Informatik) angefangen und bin schon seit geraumer Zeit nicht mehr fit in Mathe (speziell Aussagenlogik). Wie geht man an diese Aufgabe heran. Wie sollte der induktive Beweis aussehen und was ist der Induktionsanfang. Könnt ihr mir verraten, wie man an diese Aufgabe herangeht?
Ich vermute, dass wenn man den 3-stelligen Junktor/Verknüpfung mal anschaut, dass folgendes herauskommt: Die Belegung wird nur erfüllt, wenn entweder:
[mm] \neg \alpha \wedge \beta
[/mm]
oder:
[mm] \alpha \wedge \gamma
[/mm]
zutrifft.
Wie prüfe ich aber nun, dass es sich um eine adäquate Menge handelt, also, dass alle Elemente der Menge äquivalent zu einer Formel sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Di 28.10.2014 | | Autor: | tbol.inq |
Hm... keine Antwort, kein Hinweis?
Deshalb meide ich Foren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 28.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo tbol.inq und erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Ich glaube, du hast einfach das Pech, dass sich von den Helfern hier niemand mit dem Begriff einer adäquaten Menge von Verknüpfungszeichen auskennt.
Vielleicht hast du in Zukunft mehr Glück, wenn du mal Fragen zu einem gängigeren Thema hast...
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Di 28.10.2014 | | Autor: | tbol.inq |
Danke schön ;)
Achso,
Eine Menge von Junktoren heißt adäquat, falls jede Formel zu einer
Formel, die nur Junktoren aus dieser Menge benutzt, äquivalent ist. ;)
In meinem Beispiel sucht man sich zu den Formeln [mm] \neg\alpha, (\alpha\wedge\beta), (\alpha\vee\beta) [/mm] und [mm] (\alpha\Rightarrow\beta) [/mm] äquivalente formeln [mm] \alpha' [/mm] und [mm] \beta', [/mm] die nur aus den Junktoren {sel, Atomen, [mm] \perp, [/mm] T} besteht.
Im Induktionsschritt gibt man dann z.B. für [mm] (\alpha [/mm] UND [mm] \beta) [/mm] eine äquivalente Formel [mm] sel(\alpha', [/mm] XX, YY) an,
in der XX sowie YY falsum, verum oder [mm] \beta' [/mm] sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:32 Do 30.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo tbol.inq!
> Die Semantik des dreistelligen Verknüpfungszeichens sel
> ist für Belegung Β und Formeln [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma[/mm]
> wie folgt definiert.
>
> B ⊨ sel ( [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma)[/mm] genau dann, wenn (1) B
> erfülltnicht [mm]\alpha[/mm] und B ⊨ [mm]\beta[/mm] oder (2) B ⊨ [mm]\alpha[/mm]
> und B ⊨ [mm]\gamma[/mm] .
>
> Beweisen Sie, dass {sel,⊥,⊤} eine adäquate Menge von
> Verknüpfungszeichen ist.
> Ich habe gerade ein Master Studium (Informatik) angefangen
> und bin schon seit geraumer Zeit nicht mehr fit in Mathe
> (speziell Aussagenlogik). Wie geht man an diese Aufgabe
> heran. Wie sollte der induktive Beweis aussehen und was ist
> der Induktionsanfang. Könnt ihr mir verraten, wie man an
> diese Aufgabe herangeht?
Versuche, zu Formeln der Formen [mm] $\alpha\wedge\beta$ [/mm] und [mm] $\neg\alpha$ [/mm] jeweils äquivalente Formeln der Form
$sel(x,y,z)$
mit [mm] $x,y,z\in\{\alpha,\beta,$⊥,⊤$\}$ [/mm] zu finden.
Weise nach, dass diese Formel tatsächlich das Gewünschte leistet.
Sei nun [mm] $\alpha$ [/mm] eine beliebige Formel.
Gesucht ist eine zu [mm] $\alpha$ [/mm] äquivalente Formel [mm] $\alpha'$, [/mm] die nur die Junktoren sel, ⊥ und ⊤ enthält.
Da [mm] $\{\neg,\wedge\}$ [/mm] eine adäquate Menge von Junktoren ist (Wisst ihr das schon?), existiert eine zu [mm] $\alpha$ [/mm] äquivalente Formel [mm] $\alpha''$, [/mm] die nur die Junktoren [mm] $\neg$ [/mm] und [mm] $\wedge$ [/mm] enthält.
Wir zeigen nun per Induktion nach dem Aufbau von [mm] $\alpha''$, [/mm] dass jede Formel [mm] $\alpha''$, [/mm] die nur die Junktoren [mm] $\neg$ [/mm] und [mm] $\wedge$ [/mm] enthält, äquivalent zu einer Formel [mm] $\alpha'$ [/mm] ist, die nur die Junktoren sel, ⊥ und ⊤ enthält.
(Wenn wir das geschafft haben, sind wir fertig.)
Sei dazu zunächst [mm] $\alpha''$ [/mm] eine Aussagenvariable.
Dann leistet [mm] $\alpha':=\alpha''$ [/mm] das Gewünschte.
Sei nun [mm] $\alpha''$ [/mm] von der Form [mm] $\alpha''=\neg\beta$ [/mm] für eine Formel [mm] $\beta$, [/mm] die nur die Junktoren [mm] $\neg$ [/mm] und [mm] $\wedge$ [/mm] enthält.
Nach Induktionsvoraussetzung existiert eine zu [mm] $\beta$ [/mm] äquivalente Formel [mm] $\beta'$, [/mm] die nur die Junktoren sel, ⊥ und ⊤ enthält.
Dann leistet die Formel
[mm] $\alpha':=$sel(...,...,...)
[/mm]
das Gewünschte.
Den Fall [mm] $\alpha=\beta\wedge\gamma$ [/mm] überlasse ich komplett dir.
> Ich vermute, dass wenn man den 3-stelligen
> Junktor/Verknüpfung mal anschaut, dass folgendes
> herauskommt: Die Belegung wird nur erfüllt,
Du meinst: Die Formel sel ( [mm]\alpha[/mm] , [mm]\beta[/mm] , [mm]\gamma)[/mm] wird unter einer Belegung $B$ genau dann erfüllt,
> wenn
> entweder:
> [mm]\neg \alpha \wedge \beta[/mm]
>
> oder:
> [mm]\alpha \wedge \gamma[/mm]
unter der Belegung $B$
>
> zutrifft.
Ja.
Viele Grüße
Tobias
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