Beweis von Äquivalenz < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 03.11.2014 | | Autor: | gift99 |
| Aufgabe | Es sei f: M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aufgaben:
(i) f ist injektiv
(ii) Für alle A, B [mm] \subseteq [/mm] M gilt: f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
(iii) Für alle A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] M gilt: f(B\ A) = f(B) \ f(A) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
N'abend zusammen,
ich weiß ehrlich gesagt nur, dass ich aufzeigen soll, dass (i)=(ii), (ii)=(iii) und dass (iii)=(i) sein soll. Aber wie ich vorgehen soll, weiß ich nicht.
Würde mich auf Hilfe freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei f: M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie die
> Äquivalenz der folgenden Aufgaben:
> (i) f ist injektiv
> (ii) Für alle A, B [mm]\subseteq[/mm] M gilt: f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A)
> [mm]\cap[/mm] f(B)
> (iii) Für alle A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] M gilt: f(B\ A) =
> f(B) \ f(A)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> N'abend zusammen,
>
> ich weiß ehrlich gesagt nur, dass ich aufzeigen soll, dass
> (i)=(ii), (ii)=(iii) und dass (iii)=(i) sein soll.
besser: Du sollst
(i) [mm] $\iff$ [/mm] (ii) [mm] $\iff$ [/mm] (iii)
beweisen.
> Aber wie ich vorgehen soll, weiß ich nicht.
Den Beweis kann man "kurzmachen", indem man
(i) [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] (ii) [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] (iii) [mm] $\red{\,\Longrightarrow\,}$ [/mm] (i)
beweist (ist Dir das klar?).
> Würde mich auf Hilfe freuen!
Wir haben also "nur" 3=4-1 Beweisteile. (Welche?) Ich mach' mal den Anfang und beweise
(i) [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] (ii):
Gelte also (i). [mm] $f\,$ [/mm] ist also injektiv. Seien nun $A,B [mm] \subseteq [/mm] M$ beliebig, aber fest.
Zu zeigen:
[mm] $(\*)$ [/mm] $f(A [mm] \cap [/mm] B)=f(A) [mm] \cap f(B)\,.$
[/mm]
(Erinnerung: Wie zeigt man für Mengen [mm] $X,Y\,,$ [/mm] dass [mm] $X=Y\,$? [/mm] Richtig, man benutzt etwa
[mm] $X=Y\,$ $\iff$ [/mm] ($X [mm] \subseteq [/mm] Y$ UND $Y [mm] \subseteq [/mm] X$)!)
Bei [mm] ($\*$) [/mm] ist [mm] $\subseteq$ [/mm] klar: Denn aus $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A$ folgt $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq f(A)\,,$
[/mm]
analog erkennen wir $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq f(B)\,.$
[/mm]
Es bleibt also bei [mm] ($\*$) [/mm] noch [mm] $\supseteq$ [/mm] nachzuweisen (dort sollte wohl die
Injektivität eine Rolle spielen):
Sei dazu $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap f(B)\,.$ [/mm] Dann gibt es (mind.) ein
[mm] $x_A \in [/mm] A$ mit [mm] $f(x_A)=y$ [/mm] (wegen $y [mm] \in [/mm] f(A)$!)
und auch (mind.) ein
[mm] $x_B \in [/mm] B$ mit [mm] $f(x_B)=y$ [/mm] (wegen $y [mm] \in [/mm] f(B)$!).
Es folgt
[mm] $y=f(x_A)=f(x_B)\,.$
[/mm]
Damit ist wegen der Injektivität
[mm] $x_A=x_B\,.$
[/mm]
Aus
$A [mm] \ni x_A=x_B \in [/mm] B$
folgt
[mm] $x_A=x_B \in [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Also gilt
[mm] $f(x_A)=y \in [/mm] f(A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
Da $A,B [mm] \subseteq [/mm] M$ (ansonsten) beliebig waren, folgt:
Für alle $A,B [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt
$f(A [mm] \cap [/mm] B)=f(A) [mm] \cap f(B)\,.$
[/mm]
So: Jetzt mach' mal weiter...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 03.11.2014 | | Autor: | gift99 |
| Aufgabe | Es sei f: M $ [mm] \to [/mm] $ N eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aufgaben:
(i) f ist injektiv
(ii) Für alle A, B $ [mm] \subseteq [/mm] $ M gilt: f(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) = f(A) $ [mm] \cap [/mm] $ f(B)
(iii) Für alle A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B $ [mm] \subseteq [/mm] $ M gilt: f(B\ A) = f(B) \ f(A) |
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Den Beweis für (i) = (ii) ist von dir sehr gut dargestellt und habe ich verstanden, aber ich habe 1 Stunde versucht (ii) = (iii) zu verstehen bzw zu lösen, aber komme leider nicht drauf.
Bräuchte daher wieder einen Ansatz. Ich habe versucht Ansätze aus der Aufgabe vorher zu nehmen, also einen Analogieschluss zu ziehen, aber leider ohne Erfolg..
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> Es sei f: M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie die
> Äquivalenz der folgenden Aufgaben:
> (i) f ist injektiv
> (ii) Für alle A, B [mm]\subseteq[/mm] M gilt: f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A)
> [mm]\cap[/mm] f(B)
> (iii) Für alle A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] M gilt: f(B\ A) =
> f(B) \ f(A)
> Erstmal danke für die schnelle Antwort.
>
> Den Beweis für (i) = (ii) ist von dir sehr gut dargestellt
Hallo,
nein.
Dargestellt wurde [mm] (i)\Rightarrow [/mm] (ii).
> und habe ich verstanden, aber ich habe 1 Stunde versucht
> (ii) [mm] \red{\Rightarrow}(iii) [/mm] zu verstehen bzw zu lösen, aber komme leider
> nicht drauf.
>
> Bräuchte daher wieder einen Ansatz. Ich habe versucht
> Ansätze aus der Aufgabe vorher zu nehmen, also einen
> Analogieschluss zu ziehen, aber leider ohne Erfolg..
Wichtig ist immer, daß Du Dir die Voraussetzungen genau aufschreibst und das, was zu zeigen ist.
Nur wenn das klar ist, kann ein Beweis gelingen.
Voraussetzung:
Für alle A, B [mm] \subseteq [/mm] M gilt: f(A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] f(A)\cap [/mm] f(B)
zu zeigen:
Für alle A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] M gilt:
f(B\ A) =f(B) \ f(A),
dh. es gilt
a.
f(B\ A) [mm] \subseteq [/mm] f(B) \ f(A)
und
b.
f(B) \ [mm] f(A)\subseteq [/mm] f(B\ A).
Erst dann beginnt der
Beweis:
a.
Sei
A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] M,
und sei
[mm] y\in [/mm] f(B\ A).
Dann gibt es ein [mm] x\in B\setminus [/mm] A mit
y=f(x).
Also ist schonmal [mm] y\in [/mm] f(B),
und Du mußt nun eine Argumentation dafür entwickeln, daß y nicht in f(A) ist, z.B. indem Du das Gegenteil annimmst und diese Annahme zum Widerspruch führst.
Danach dann b.
Wir müßten mal ein bißchen von Deinem Tun sehen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Wichtig ist immer, daß Du Dir die Voraussetzungen genau
> aufschreibst und das, was zu zeigen ist.
> Nur wenn das klar ist, kann ein Beweis gelingen.
ich habe momentan das Gefühl, dass gerade diese, wie eine Randnotiz
gemachte, Bemerkung genau das ist, was man fett und rotmarkiert in
jedes Lehrbuch für Studienbeginner (der Mathematik) reinschreiben sollte!
Gruß,
Marcel
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