Beweis von konvergenter Folge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n})_{n}>1 [/mm] und [mm] (b_{n})_{n}>1 [/mm] zwei konvergente Folgen,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=a+b [/mm] |
So wie ich die Aufgabe verstanden habe muss ich nun beweisen das:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=a+b
[/mm]
Ich denke mit einem direkten Beweis.
Ich habe keine Ahnung wie ich das anpacken soll. Mir ist schon klar das a+b stimmt aber ich sehe keinen Ansatz.
Ich habe irgendwie noch nicht dieses Mathematische "Beweis-Denken" drinne.
Bitte helft mir ein bisschen.
LG Tobias
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Hallo Tobias,
na, probiere es doch direkt über die [mm] $\varepsilon$-Definition.
[/mm]
Es ist ja zu zeigen, dass [mm] $\forall\, \varepsilon>0\,\exists\, N\in\IN\,\forall\, [/mm] n>N : [mm] |(a_n+b_n)-(a+b)|<\varepsilon$
[/mm]
Schreibe dir zuerst mal den abzuschätzenden Betrag hin und "konstruiere" dir dein $N$
[mm] $|(a_n+b_n)-(a+b)|$
[/mm]
Hilfreich ist immer die Dreiecksungleichung...
Dann musst du nur noch benutzen, dass die Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] konvergieren....
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 So 25.11.2007 | | Autor: | schnuri |
Hi Zusammen,
ich sitze an der gleichen Aufgabe und komme hier nicht mehr weiter:
Beweis:
Es gilt also zu zeigen:
$ [mm] \left| a_n+b_n - (a+b) \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$ [mm] \gdw \left| a_n - a + b_n - b \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \left| a_n - a + b_n - b \right| \le \left| a_n - a \right| [/mm] + [mm] \left| b_n - b \right| [/mm] $ (Dreiecksungleichung)
So, jetzt kann die rechte Seite aber durchaus größer als Epsilon werden, oder? [mm] a_n [/mm] konvergiert ja gegen a und [mm] b_n [/mm] gegen b, sodass der ganze rechte Ausdruck gegen 0 geht. D.h. es gibt einfach ein Epsilon, dass größer 0 ist.
Letztendlich muss man ja $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=a+b [/mm] $ zeigen, ich sehe aber noch nicht, wie ich dahin komme.
Hätte vielleicht noch jemand einen Tipp?
Danke und Gruß,
schnuri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 So 25.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast da ja auf der rechten Seite schon stehen, dass [mm] |a_n-a|+|b_n-b| [/mm] irgendetwas sein muss.
Da [mm] a_n [/mm] eine konvergente Folge ist, und gegen a geht, weist du, dass [mm] |a_n-a|
Dann kannst du schreiben, dass dann die Summe der beiden kléiner gleich [mm] 2\epsilon [/mm] ist. Da du aber zeigen willst, dass [mm] |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon [/mm] ist, wählst du einfach oben bei dem Grenzwert für [mm] |a_n-a|, [/mm] dass das ganze kleiner als [mm] \epsilon/2 [/mm] sein soll und analog für b. So bekommst du dann, dass deine Ausgansdifferenz kleiner [mm] \epsilon [/mm] ist, und dann bist du fertig.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 So 25.11.2007 | | Autor: | schnuri |
Hi Kroni, danke für deinen Tipp!
Beweis:
Sei $ [mm] a:=\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n) [/mm] $, $ [mm] b:=\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n) [/mm] $
Es gilt also zu zeigen:
$ [mm] \left| a_n+b_n - (a+b) \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$ [mm] \gdw \left| a_n - a + b_n - b \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \left| a_n - a + b_n - b \right| \le \left| a_n - a \right| [/mm] + [mm] \left| b_n - b \right| [/mm] $ (Dreiecksungleichung)
Wegen der vorausgesetzten Konvergenz existiert immer ein Index [mm] $n(\varepsilon), \varepsilon [/mm] > 0 $, sodass für $n > [mm] n(\varepsilon)$ [/mm] die Ungleichungen [mm] $\left| a_n - a \right| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] und [mm] $\left| b_n - b \right| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] erfüllt sind.
$ [mm] \Rightarrow \left| a_n - a + b_n - b \right| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \left| a_n - a + b_n - b \right| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] fertig!
Das erscheint mir fast schon zu einfach, um richtig zu sein :) Kann ich es so stehen lassen?
LG
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Hallo schnuri,
du solltest unbedingt beachten, dass die [mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] bei den Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] i.A verscheiden sind.
Du hast also wegen der Konvergenz von [mm] $(a_n)$ [/mm] ein [mm] $n_1(\varepsilon)$, [/mm] so dass für alle [mm] $n>n_1(\varepsilon)$ [/mm] gilt [mm] $|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
Analog hast du für [mm] $(b_n)$ [/mm] ein [mm] $n_2(\varepsilon)$ [/mm] mit...
Wähle dann für die Folge [mm] $(a_n+b_n)$ [/mm] das [mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] als [mm] $max\{n_1(\varepsilon),n_2(\varepsilon)\}$
[/mm]
Dann bist du auf der sicheren Seite 
LG
schachuzipus
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