Beweis von lim inf < lim sup < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] seien beschränkte Folgen reeller Zahlen.
Zeige:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] a_n [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] b_n \le \limes_{n\rightarrow\infty} inf(a_n [/mm] + [mm] b_n) \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (a_n [/mm] + [mm] b_n) \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_n [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] b_n [/mm] |
Hallo,
ich fange mal mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (a_n [/mm] + [mm] b_n) \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_n [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] b_n [/mm] an , das mit inf folgt ja analog.
Also:
Es gilt ja sup(A+B) = sup A + sup B(schon bewiesen), wobei A+B = { a+b | a [mm] \in [/mm] A , b [mm] \in [/mm] B }.
Wir betrachten also alle möglichen Summen von Elementen aus A und B. Die Folge [mm] {a_n + b_n } [/mm] enthält aber nur bestimmte Summen von Zahlen aus den Mengen A = { [mm] a_n [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } und B = { [mm] b_n [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] }
Daher gilt:
{ [mm] a_k [/mm] + [mm] b_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } [mm] \le [/mm] sup{ [mm] a_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } + sup{ [mm] b_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n }
Daher:
sup{ [mm] a_k [/mm] + [mm] b_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } [mm] \le [/mm] sup{ [mm] a_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } + sup{ [mm] b_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n }
und nachdem "lim" gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup{ [mm] a_k [/mm] + [mm] b_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup{ [mm] a_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup{ [mm] b_k [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n }
Analog mit inf.
Aber wie zeige ich die äußere Ungleichung, also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] a_n +\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] b_n \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] a_n [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] b_n
[/mm]
Vielen Dank im Voraus.
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Hiho,
> ich fange mal mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](a_n[/mm] + [mm]b_n) \le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]a_n[/mm] + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]b_n[/mm] an , das mit inf folgt ja analog.
Ich vermute mal damit meinst du die erste Ungleichung, die analog folgt.
> Aber wie zeige ich die äußere Ungleichung, also:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] inf [mm]a_n +\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> inf [mm]b_n \le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]a_n[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]b_n[/mm]
die musst du doch gar nicht zeigen, sondern nur noch: [mm] $\liminf c_n \le \limsup c_n$ [/mm] für beliebige Folgen.
Und das ist irgendwie trivial....
Gruß,
Gono
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Hallo,
vielen Dank, dann weiß ich Bescheid.
Es gibt noch eine zweite Frage:
Finden Sie Folgen [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] , für welche in den beiden äußeren Ungleichungen < auftreten kann.
Ich hätte [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] gedacht,geht das ?
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Hiho,
> Ich hätte [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und [mm]b_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n²}[/mm] gedacht,geht das ?
rechnes es doch mal aus!
Was kommt raus?
Gruß,
Gono
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inf von 1/n ist 0
inf von 1/n² ist 0
sup von 1/n ist 1
sup von 1/n² ist 1
0+0 < 1+1 = 0 < 2
Stimmt also, oder ?
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Hiho,
> 0+0 < 1+1 = 0 < 2
Seit wann ist 1+1=0 ?
Dann: Du sollst in den äußeren(!) Ungleichungen echte Ungleichungen haben!
Es ist zwar [mm] $\sup_{n\ge 1} \frac{1}{n} [/mm] = 1$ aber [mm] $\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} [/mm] = 0$
Wenn dir das nicht klar ist, schau dir die Definition vom [mm] \limsup [/mm] nochmal an!
Tipp: Konvergiert eine Folge [mm] (a_n) [/mm] so ist [mm] $\limsup_{n\to\infty} a_n [/mm] = [mm] \liminf_{n\to\infty} a_n [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} a_n$
[/mm]
Und nach Grenzwertsätzen wären bei deiner Aufgabe dann alle Ungleichungen echte Gleichungen.
Ergo: Mindestens eine der beiden Folgen darf nicht konvergieren, damit echte Ungleichungen entstehen.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Mi 02.12.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Hi,
ah okay, das wusste ich nicht, habe mir gerade die Def von lim sup lim inf durchgelesen. Alles klar, dann weiß ich Bescheid, vielen Dank für deine Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:46 Do 03.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ah okay, das wusste ich nicht, habe mir gerade die Def von
> lim sup lim inf durchgelesen.
So früh ? 2,5 Stunden nachdem Du Deine Frage gestellt hast ? Waaahnsinn !
FRED
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