Beweis von oberer schranke < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:04 Fr 13.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen,
Habe folgende Folgen des [mm] IR^n [/mm] gegeben
1) [mm] (x_j)^{k} [/mm] = [mm] (-1)^k \bruch{1}{k^{j-1}}
[/mm]
2) [mm] x^k [/mm] = [mm] \vektor{e^{-k}sin(\bruch{k}{9}) \\ e^{-k}cos(\bruch{k}{9}) }
[/mm]
Nun möchte ich zeigen, dass diese beiden Folgen beschränkt sind.
Zu 1) bei dieser dachte ich mir dass sie immer kleinere oder gleiche Werte wie 0,5 annimmt. Somit 0,5 eine obere Schranke ist. d.h [mm] |(x_j)^k| \le [/mm] 0,5 für alle k [mm] \in [/mm] IN Wenn ich nun die einzelnen Komponenten der Folge in die euklidische Norm einsetze und umforme komme ich auf:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k^{i-1}} \le [/mm] 0,5 <=> [mm] \summe_{i=0}^{n-1} \bruch{1}{k^{i}} \le [/mm] 0,5 Ab hier gerate ich leider ins stolpern.
zu 2) Meine Überlegung ist: sin x und cos x sind beide beschränkt jedoch ist [mm] e^{-x} [/mm] unbeschränkt. Somit die beiden angegebenen Folgen ebenfalls unbeschränkt. Stimmt der Gedanke?
viele grüße
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Fr 13.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hallo zusammen,
> Habe folgende Folgen des [mm]IR^n[/mm] gegeben
> 1) [mm](x_j)^{k}[/mm] = [mm](-1)^k \bruch{1}{k^{j-1}}[/mm]
> 2) [mm]x^k[/mm] =
> [mm]\vektor{e^{-k}sin(\bruch{k}{9}) \\
e^{-k}cos(\bruch{k}{9}) }[/mm]
>
> Nun möchte ich zeigen, dass diese beiden Folgen
> beschränkt sind.
> Zu 1) bei dieser dachte ich mir dass sie immer kleinere
> oder gleiche Werte wie 0,5 annimmt. Somit 0,5 eine obere
> Schranke ist. d.h 0,5 für alle k [mm]\in[/mm] IN
ich nehmen an, es ist auch [mm]j\in\IN[/mm]. Stimmt das denn soweit? Betrachten wir mal
[mm](x_j)^{k}=(-1)^k \bruch{1}{k^{j-1}}[/mm] für k=j=1: [mm](x_1)^{1}=(-1)^1*\bruch{1}{1^{1-1}}=-1[/mm] und somit [mm] $|(x_1)^1)|=|-1|=1>0,5$
[/mm]
Den von dir angedeuteten Gedanken [mm]|(x_j)^k|=...\le[/mm] musst du noch mal durchgehen.
>
> zu 2) Meine Überlegung ist: sin x und cos x sind beide
> beschränkt jedoch ist [mm]e^{-x}[/mm] unbeschränkt. Somit die
> beiden angegebenen Folgen ebenfalls unbeschränkt. Stimmt
> der Gedanke?
Vorsicht. Es ist doch [mm]e^{-k}=\bruch{1}{e^{k}}[/mm]. Bist du jetzt immer noch der Ansicht?
Viel Erfolg.
barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Sa 14.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hallo,
Zuerst dachte ich mir auch, dass [mm] \bruch{1}{e^k} [/mm] eben durch die Null beschränkt wird. Jedoch ist das doch eine untere SChranke. Ich such' doch eine obere. Durch die Beschränkung der e Funktion wären dann die zwei
anderen Folgen [mm] e^{-k}sin(\bruch{k}{9}) [/mm] und [mm] e^{-k}cos(\bruch{k}{9}) [/mm] auch nach unten durch Null beschränkt aber eben nicht nach oben,oder?
viele grüße
jacob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Sa 14.05.2011 | | Autor: | fred97 |
$| [mm] e^{-k}sin(\bruch{k}{9})|= e^{-k}|sin(\bruch{k}{9})| \le e^{-k} \le [/mm] 1 $
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:37 Sa 14.05.2011 | | Autor: | jacob17 |
Hey Fred,
Ok dann bildet also die 1 die obere Schranke meiner Folge.
Habe mir die 1. Aufgabe noch mal angesehen.
Diese Folge ist ja definiert als: [mm] |(x_j)^k| [/mm] = [mm] (-1)^k \bruch{1}{k^{j-1}} [/mm] für j=1,...,n
Dann ist doch die erste Komponete dergestalt: [mm] (-1)^k \bruch{1}{k^0}= (-1)^k [/mm] Die zweite Komponente müsste dann so aussehen: [mm] (-1)^k \bruch{1}{k} [/mm] mit zum n-ten Eintrag also bis zur n-ten Komponente mit [mm] (-1)^k \bruch{1}{k^{n-1}}. [/mm] Diese ganzen Komponenten konvergieren alle nicht wegen Leibnizkriterium. Und falls ich beschränktheit zeigen möchte setze ich die Komponenten 1 bis n in die euklidische Norm ein. so dass sich für die 1. Komponente 1 für die 2.Komponente [mm] \bruch{1}{k} [/mm] usw. ergibt. Nun möchte ich also zeigen dass die Wurzel der Summe all dieser Komponenten nach oben durch irgendeine Konstante [mm] \in [/mm] IR beschränkt ist. Kann man bis hierher so vorgehen?
Viele Grüße
jacob
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Sa 14.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Habe mir die 1. Aufgabe noch mal angesehen.
> Diese Folge ist ja definiert als: [mm]|(x_j)^k|[/mm] = [mm](-1)^k \bruch{1}{k^{j-1}}[/mm]
> für j=1,...,n
> Dann ist doch die erste Komponete dergestalt: [mm](-1)^k \bruch{1}{k^0}= (-1)^k[/mm]
> Die zweite Komponente müsste dann so aussehen: [mm](-1)^k \bruch{1}{k}[/mm]
> mit zum n-ten Eintrag also bis zur n-ten Komponente mit
> [mm](-1)^k \bruch{1}{k^{n-1}}.[/mm] Diese ganzen Komponenten
> konvergieren alle nicht wegen Leibnizkriterium.
Die Frage ist, was willst du überhaupt machen? Du wolltest doch zeigen, dass die Folge beschränkt ist, nicht das sie konvergiert. Oder möchstest du zeigen, dass
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{1}{k^{j-1}}[/mm] für alle [mm]j\in\IN[/mm] konvergiert?
Willst du die Konvergenz der Reihe zeigen, kannst du tatsächlich das Leibniz-Kriterium anwenden. Dann konvergiert [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k \bruch{1}{k^{j-1}}[/mm] für alle [mm]j\in\IN[/mm], wenn die Folge [mm]a_k=\bruch{1}{k^{j-1}}[/mm] mit [mm]k\in\IN[/mm] für alle [mm]j\in\IN[/mm] monoton fallend und eine Nullfolge ist.
> Und falls
> ich beschränktheit zeigen möchte setze ich die
> Komponenten 1 bis n in die euklidische Norm ein. so dass
> sich für die 1. Komponente 1 für die 2.Komponente
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] usw. ergibt. Nun möchte ich also zeigen dass
> die Wurzel der Summe all dieser Komponenten nach oben durch
> irgendeine Konstante [mm]\in[/mm] IR beschränkt ist. Kann man bis
> hierher so vorgehen?
Dazu kann ich dir leider nichts sagen, weil mir nicht ganz klar ist, was du da vorhast.
> Viele Grüße
> jacob
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 20.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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