Beweis y^n=x < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] x\ge0 [/mm] und [mm] n\in \IN. [/mm]
zu zeigen: es gibt ein y [mm] \in \IR, [/mm] sodass [mm] y^n=x. [/mm] |
Hallo,
ich sitze an dieser sicherlich nicht so schweren Aufgabe, aber finde einfach keinen Ansatz. Habe schon versucht es umzuschreiben, aber es klappt nicht. Mir fehlt irgendwie noch eine Voraussetzung, die ich anwenden kann ich weiß aber nicht wie ich sie hier wählen kann??
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Lg
Britta_lernt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 So 07.11.2010 | | Autor: | vwxyz |
Du kannst es entweder durch Logik beweisen:
Also sei x [mm] \ge [/mm] 0 und n [mm] \in \IN [/mm] dann folgt für [mm] y^{n}=x \gdw y=\wurzel[n]{x} [/mm] und die n-te Wurzel einer positiven Zahl ist immer definiert für [mm] \IR [/mm] also y [mm] \in \IR. [/mm] Oder du sagst angenommen y [mm] \not\in\IR [/mm] dann folgt daraus [mm] y\in\IC [/mm] \ [mm] \IR [/mm] => [mm] y^{n}=x<0 [/mm] und das ist ein widerspruch zur annahme.
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Hallo vwxyz,
> Du kannst es entweder durch Logik beweisen:
> Also sei x [mm]\ge[/mm] 0 und n [mm]\in \IN[/mm] dann folgt für [mm]y^{n}=x \gdw y=\wurzel[n]{x}[/mm]
> und die n-te Wurzel einer positiven Zahl ist immer
> definiert für [mm]\IR[/mm] also y [mm]\in \IR.[/mm] Oder du sagst angenommen
> y [mm]\not\in\IR[/mm] dann folgt daraus [mm]y\in\IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm] => [mm]y^{n}=x<0[/mm]
> und das ist ein widerspruch zur annahme.
Das wars schon? Oh man und ich versuche es die ganze Zeit mithilfe der Körperaxiome zu beweisen. Kannst du mir vielleicht auch sagen, wie es damit gehen würde?
Danke für die Hilfe
Grüße
Britta_lernt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Du kannst es entweder durch Logik beweisen:
> > Also sei x [mm]\ge[/mm] 0 und n [mm]\in \IN[/mm] dann folgt für [mm]y^{n}=x \gdw y=\wurzel[n]{x}[/mm]
> > und die n-te Wurzel einer positiven Zahl ist immer
> > definiert für [mm]\IR[/mm] also y [mm]\in \IR.[/mm] Oder du sagst angenommen
> > y [mm]\not\in\IR[/mm] dann folgt daraus [mm]y\in\IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm] => [mm]y^{n}=x<0[/mm]
> > und das ist ein widerspruch zur annahme.
>
> Das wars schon?
Ich bezweifle, dass ihr das verwenden duerft. Der Sinn der Aufgabe ist ja gerade, die Existenz von [mm] $\sqrt[n]{x}$ [/mm] zu beweisen.
> Oh man und ich versuche es die ganze Zeit
> mithilfe der Körperaxiome zu beweisen. Kannst du mir
> vielleicht auch sagen, wie es damit gehen würde?
Du brauchst vor allem das Vollstaendigkeitsaxiom.
Betrachte doch mal die Menge $A := [mm] \{ y \in \IR \mid y^n \le x \}$.
[/mm]
Zeige, dass sie nach oben beschraenkt ist. Nach dem Vollstaendigkeitsaxiom gibt es ein Supremum, nennen wir es $y$. Zeige, dass dieses $y$ die Ungleichungen [mm] $y^n \le [/mm] x$ und [mm] $y^n \ge [/mm] x$ erfuellt.
Dann ist [mm] $y^n [/mm] = x$.
LG Felix
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Hallo Felix,
>
> Du brauchst vor allem das Vollstaendigkeitsaxiom.
>
> Betrachte doch mal die Menge [mm]A := \{ y \in \IR \mid y^n \le x \}[/mm].
>
> Zeige, dass sie nach oben beschraenkt ist. Nach dem
> Vollstaendigkeitsaxiom gibt es ein Supremum, nennen wir es
> [mm]y[/mm]. Zeige, dass dieses [mm]y[/mm] die Ungleichungen [mm]y^n \le x[/mm] und [mm]y^n \ge x[/mm]
> erfuellt.
>
> Dann ist [mm]y^n = x[/mm].
>
> LG Felix
>
Ich habe deine Vorgehensweise soweit verstanden. Komme aber trotzdem noch nicht wirklich weiter...
> Betrachte doch mal die Menge [mm]A := \{ y \in \IR \mid y^n \le x \}[/mm].
>
> Zeige, dass sie nach oben beschraenkt ist.
Wäre dann die obere Schranke sup{x,y [mm] \in \IR: y^n\le [/mm] x}= [mm] \wurzel[n]{x}?
[/mm]
Hmmm...aber du meintest ja, dass wir unser supremum y nennen, das musste ja einen Grund haben...![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Irgendwie komme ich auch noch nicht richtig damit klar, zu zeigen, dass eine Menge beschränkt ist.
Die Definition lautet ja:
[mm] M\subset \IR [/mm] . [mm] c\in \IR [/mm] ist eine obere Schranke, wenn für alle x [mm] \in [/mm] M gilt:
[mm] c\ge [/mm] x.
Über eine Erklärung würde ich mich sehr freuen 
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Mo 08.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Felix,
> >
> > Du brauchst vor allem das Vollstaendigkeitsaxiom.
> >
> > Betrachte doch mal die Menge [mm]A := \{ y \in \IR \mid y^n \le x \}[/mm].
>
> >
> > Zeige, dass sie nach oben beschraenkt ist. Nach dem
> > Vollstaendigkeitsaxiom gibt es ein Supremum, nennen wir es
> > [mm]y[/mm]. Zeige, dass dieses [mm]y[/mm] die Ungleichungen [mm]y^n \le x[/mm] und [mm]y^n \ge x[/mm]
> > erfuellt.
> >
> > Dann ist [mm]y^n = x[/mm].
> >
> > LG Felix
> >
> Ich habe deine Vorgehensweise soweit verstanden. Komme aber
> trotzdem noch nicht wirklich weiter...
> > Betrachte doch mal die Menge [mm]A := \{ y \in \IR \mid y^n \le x \}[/mm].
>
> >
> > Zeige, dass sie nach oben beschraenkt ist.
> Wäre dann die obere Schranke [mm]\sup\{x,y \in \IR: y^n\le x\}= \wurzel[n]{x}?[/mm]
Im Prinzip ja, ABER du weisst sozusagen ja noch gar nicht, was die Wurzel ist.
> Hmmm...aber du meintest ja, dass wir unser supremum y
> nennen, das musste ja einen Grund haben...
Vergiss für den Moment mal, was die Wurzelfunktion ist. Es geht letzten Endes darum, diese Wurzelfunktion sauber zu definieren. Dazu ist es zunächst mal nötig, dass die Umkehrfunktion der Potenzfunktion überhaupt definierbar ist. Es ist klar, dass mit gegebenem y aus
[mm] y^n= x[/mm]
eindeutig ein x zu bestimmen ist. In der Aufgabe sollst du das Umgekehrte zeigen: dass zu einem gegebenen x mindestens eine Zahl y existiert, die die Gleichung erfüllt.
Es gibt ein paar Spezialfälle, für die es offensichtlich ist:
a) n=1
b) x=0
c) x=1
> Irgendwie komme ich auch noch nicht richtig damit klar, zu
> zeigen, dass eine Menge beschränkt ist.
> Die Definition lautet ja:
> [mm]M\subset \IR[/mm] . [mm]c\in \IR[/mm] ist eine obere Schranke, wenn für alle[mm] x \in M[/mm] gilt:
> [mm]c\ge x[/mm].
Das ist der richtige Ausgangspunkt. Jetzt musst du das mit den Definition der Menge A in Verbindung bringen:
[mm]A := \{ y \in \IR \mid y^n \le x \}[/mm]
Nimm einmal an, A habe keine obere Schranke. Es gebe also zu jeder Zahl [mm] $c\in\IR$ [/mm] ein Element [mm] $y\in [/mm] A$ mit $y>c$. Was ist dann mit [mm] $y^n$ [/mm] (das ja nach Voraussetzung [mm] $\le [/mm] x$ sein soll)?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
also wir hatten heute in der Vorlesung folgenden Beweis, der analog zu der Aufgabe verlaufen soll:
M := {y [mm] \in \IR| y^2 \le [/mm] x }
Man beachte, dass M nichtleer ist. Man sieht leicht, dass max{1,x} eine
obere Schranke für M ist. Wir setzen nun
a := sup(M)
und wir behaupten, dass [mm] a^2 [/mm] = x. Es folgt sofort aus einem Satz aus der Vorlesung, dass [mm] a^2 \le [/mm] x.
Nehmen wir nun an, dass [mm] a^2 [/mm] < x. Wir setzen d = [mm] x-a^2. [/mm] Wir wollen
zeigen, dass es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt, so dass (a + [mm] \varepsilon)^2 \le [/mm] x. Haben wir solch ein [mm] \varepsilon [/mm] gefunden, dann haben wir einen Widerspruch weil [mm] a+\varepsilon \in [/mm] M per Definition von M, aber [mm] a+\varepsilon [/mm] > a, d.h. a ist dann keine obere Schranke
für M!
Um solch ein [mm] \varepsilon [/mm] zu finden beachte man, dass
(a + [mm] \varepsilon )^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2a [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \varepsilon^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] (2a + [mm] \varepsilon [/mm] ):
Wir setzen nun [mm] \varepsilon [/mm] = max {a, d/3a}, dann gilt in der Tat
(a + [mm] \varepsilon)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2a [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] \varepsilon^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + (2a + [mm] \varepsilon [/mm] ) [mm] \varepsilon \le [/mm] a + 3a [mm] \varepsilon \le [/mm] a+ d = [mm] x^2 [/mm] (*)
Warum gilt:
[mm] a^2 [/mm] + (2a + [mm] \varepsilon [/mm] ) [mm] \varepsilon \le [/mm] a + 3a [mm] \varepsilon \le [/mm] a+ d = [mm] x^2 [/mm]
[mm] a^2 [/mm] + (2a + [mm] \varepsilon [/mm] ) [mm] \varepsilon [/mm] ist doch nicht kleiner als a + 3a [mm] \varepsilon [/mm] oder täusche ich mich da?
außerdem müsste doch
(a + [mm] \varepsilon)^2 \le ...\le [/mm] x sein?
Ich habe es jetzt mal analog versucht
Betrachte Menge M:= {y [mm] \in \IR| y^n \le [/mm] x}
Sein y:= sup(M) und wir behaupten [mm] y^n=x. [/mm] Aus Satz einem Satz aus der Voles. folgt [mm] y^n \le [/mm] x.
Annahme: [mm] y^n [/mm] < x
setze d= [mm] x-y^n
[/mm]
Zu zeigen: (y+ [mm] \varepsilon)^n \le [/mm] x
(y+ [mm] \varepsilon)^n [/mm] = [mm] y^n [/mm] + [mm] ny^n^-^1 \varepsilon [/mm] +...+ny [mm] \varepsilon^n^-^1+ \varepsilon^n [/mm] = [mm] y^n+ \varepsilon (ny^n^-^1+...+ny \varepsilon^n^-^2+ \varepsilon^n^-^1)= [/mm] ...hier komme ich nicht weiter wegen dem oben genannten Problemchen?
Ich hoffe ich überrumple euch nicht mit meinem Aufsatz.
Viele Dank für die Hilfe.
Grüße
Britta_lernt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Do 11.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
> also wir hatten heute in der Vorlesung folgenden Beweis,
> der analog zu der Aufgabe verlaufen soll:
>
> $M := [mm] \{y \in \IR| y^2 \le x \}$
[/mm]
> Man beachte, dass M nichtleer ist. Man sieht leicht, dass
> max{1,x} eine
> obere Schranke für M ist. Wir setzen nun
> a := sup(M)
> und wir behaupten, dass [mm]a^2[/mm] = x. Es folgt sofort aus einem
> Satz aus der Vorlesung, dass [mm]a^2 \le[/mm] x.
> Nehmen wir nun an, dass [mm]a^2[/mm] < x. Wir setzen d = [mm]x-a^2.[/mm] Wir
> wollen
> zeigen, dass es ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt, so dass (a +
> [mm]\varepsilon)^2 \le[/mm] x. Haben wir solch ein [mm]\varepsilon[/mm]
> gefunden, dann haben wir einen Widerspruch weil
> [mm]a+\varepsilon \in[/mm] M per Definition von M, aber
> [mm]a+\varepsilon[/mm] > a, d.h. a ist dann keine obere Schranke
> für M!
> Um solch ein [mm]\varepsilon[/mm] zu finden beachte man, dass
> (a + [mm]\varepsilon )^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] + 2a [mm]\varepsilon[/mm] +
> [mm]\varepsilon^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] + [mm]\varepsilon[/mm] (2a + [mm]\varepsilon[/mm] ):
> Wir setzen nun [mm]\varepsilon[/mm] = max {a, d/3a}, dann gilt in
> der Tat
> (a + [mm]\varepsilon)^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] + 2a [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]\varepsilon^2[/mm]
> = [mm]a^2[/mm] + (2a + [mm]\varepsilon[/mm] ) [mm]\varepsilon \le[/mm] a + 3a
> [mm]\varepsilon \le[/mm] a+ d = [mm]x^2[/mm] (*)
>
> Warum gilt:
> [mm]a^2 + (2a + \varepsilon ) \varepsilon \le a + 3a \varepsilon \le a+ d = x^2[/mm]
So stimmt das nicht. Erst einmal setzt man
[mm]\varepsilon = \min\{a,d/(3a)\} [/mm] .
Das bedeutet, dass sowohl [mm] $\varepsilon \le [/mm] a$ als auch [mm] $\varepsilon \le \bruch{d}{3a} [/mm] $ ist.
Dann ist
[mm] (a+\varepsilon)^2 = a^2 + (2a+\varepsilon)\varepsilon \le a^2 + 3a\varepsilon [/mm]
wegen [mm] $\varepsilon \le [/mm] a$. Und wegen [mm] $\varepsilon \le \bruch{d}{3a} [/mm] $ ist $3a [mm] \varepsilon \le [/mm] d$, sodass insgesamt da steht
[mm] (a+\varepsilon)^2 \le a^2 +d = x [/mm]
Das bedeutet aber, dass [mm] $a+\varepsilon \in [/mm] M$, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass a das Supremum der Menge M ist. Also kann ist die 2. Voraussetzung [mm] $a^2< [/mm] x $ falsch, und es folgt [mm] $a^2 [/mm] = x$.
Wegen 1. [mm] $\varepsilon \le [/mm] a$ (für die erste Ungleichung) und 2.
> Ich habe es jetzt mal analog versucht
> Betrachte Menge $M:= [mm] \{y \in \IR| y^n \le x\}$
[/mm]
>
> Sein y:= sup(M) und wir behaupten [mm]y^n=x.[/mm] Aus Satz einem
> Satz aus der Voles. folgt [mm]y^n \le[/mm] x.
> Annahme: [mm]y^n[/mm] < x
> setze d= [mm]x-y^n[/mm]
> Zu zeigen: (y+ [mm]\varepsilon)^n \le[/mm] x
>
> (y+ [mm]\varepsilon)^n[/mm] = [mm]y^n[/mm] + [mm]ny^n^-^1 \varepsilon[/mm] +...+ny
> [mm]\varepsilon^n^-^1+ \varepsilon^n[/mm] = [mm]y^n+ \varepsilon (ny^n^-^1+...+ny \varepsilon^n^-^2+ \varepsilon^n^-^1)=[/mm]
> ...hier komme ich nicht weiter wegen dem oben genannten
> Problemchen?
Jetzt machst du weiter wie oben: setze [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \min \{y,d/(ky^{n-1})\}$, [/mm] wobei wir die Zahl k noch geschickt wählen müssen.
Wie du schreibst ist
[mm] (y+\varepsilon)^n = y^n + \varepsilon(ny^{-1} + \dots + ny\varepsilon^{n-1} +\varepsilon^n) [/mm]
und das ist wegen [mm] $\varepsilon \le [/mm] y$:
[mm]\le y^n + \varepsilon (n + \dots + n +1)y^{-1} [/mm]
Jetzt du wieder
Viele Grüße
Rainer
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