Beweis z. Kartesischem Produkt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Di 06.12.2005 | | Autor: | Daria04 |
Hallo!
Ich sitze nun seit einiger Zeit über folgender Aufgabe:
Es ist zu beweisen, dass für beliebige Mengen A,B,C,D folgendes gilt:
(A x B) [mm] \cap [/mm] (C x D) = (A [mm] \cap [/mm] C) x (B [mm] \cap [/mm] D)
Ich hab bisher folgendes überlegt:
Die Definition des kart. Produkts ist
AxB={(a,b) | a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B }
daher hab ich für die linke seite :
{(a,b) | a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B } [mm] \cap [/mm] {(c,d) | c [mm] \in [/mm] C und d [mm] \in [/mm] D }
Bloß wie geht es jetzt weider?
Oder ist der Ansatz schonmal komplett falsch?
Bin dankbar für jeden Tipp!
Daria
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 Mi 07.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hoi Daria!
> Ich sitze nun seit einiger Zeit über folgender Aufgabe:
>
> Es ist zu beweisen, dass für beliebige Mengen A,B,C,D
> folgendes gilt:
>
> $(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] D)$
>
>
> Ich hab bisher folgendes überlegt:
>
> Die Definition des kart. Produkts ist
> $A [mm] \times B=\{(a,b) \mid a\in A, \; b \inB \}$
[/mm]
>
> daher hab ich für die linke seite :
>
> [mm] $\{(a,b) \mid a \in A \text{ und } b \in B \} \cap \{(c,d) \mid c \in C \text{ und } d \in D \}$
[/mm]
>
>
> Bloß wie geht es jetzt weider?
>
> Oder ist der Ansatz schonmal komplett falsch?
Der Ansatz ist gut und richtig. Jetzt musst du dir ueberlegen, wie $A [mm] \cap [/mm] B$ definiert ist. Und das dann hierfuer einsetzen. Dann erhaelst du eine Menge der Art [mm] $\{ (a, b) \mid ... \text{ Bedingung } ... \}$, [/mm] in der du die Bedingung passend umformen kannst bist du schliesslich wieder die Definition vom kartesischen Produkt anwenden kannst, um genau das zu erhalten was du zeigen solltest.
HTH Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Daria04 |
Hallo!
Mh, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, mir fällt leider nicht ein, wie ich diese Schnittmenge (A [mm] \cap [/mm] B) darstellen soll. Vor allem da ich in meiner Definition ja ein Element a und ein Element b habe.
danke schonmal! :)
Daria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 07.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Daria!
Es gilt doch:
$(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \times [/mm] D)$
[mm] $=\{(x,y)\, : \, (x,y) \in A \times B \, \wedge\, (x,y) \in C \times D\}$
[/mm]
[mm] $=\{(x,y)\, : \, (x \in A\, \wedge \, y \in B)\, \wedge\, (x \in C \, \wedge \, y \in D)\}$
[/mm]
[mm] $=\{(x,y)\, : \, (x \in A\, \wedge \, x \in C)\, \wedge\, (y \in B \, \wedge \, y \in D)\}$
[/mm]
[mm] $=\{(x,y)\, : \, (x \in A\cap C)\, \wedge\, (y \in B \cap D)\}$
[/mm]
$=(A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] D)$.
Liebe Grüße
Julius
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