Beweis zu Konvergenzradien < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Di 07.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | | Es seien [mm] $r_1$ [/mm] und [mm] $r_2$ [/mm] die Konvergenzradien von [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n$. [/mm] Zeige, dass der Konvergenzradius von [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\right)z_n$ [/mm] größer oder gleich [mm] $\min\{r_1,r_2\}$. [/mm] |
Hallo an alle,
Könnte mir jemand bei der obigen Aufgabe weiterhelfen. Ich habe es bereits mit dem Cauchy-Produkt und der Formel von Cauchy-Hadamard versucht, aber es ist mir leider nicht gelungen.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 07.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es seien [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] die Konvergenzradien von
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm] und [mm]\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n[/mm].
> Zeige, dass der Konvergenzradius von
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\right)z_n[/mm]
> größer oder gleich [mm]\min\{r_1,r_2\}[/mm].
>
> Könnte mir jemand bei der obigen Aufgabe weiterhelfen. Ich
> habe es bereits mit dem Cauchy-Produkt und der Formel von
> Cauchy-Hadamard versucht, aber es ist mir leider nicht
> gelungen.
Du brauchst zwei Aussagen:
a) Das Cauchy-Produkt zweier absolut konvergenter Reihen ist absolut konvergent.
b) Konvergiert eine Potenzreihe fuer alle $z$ mit $|z| < r$ absolut, so ist der Konvergenzradius [mm] $\ge [/mm] r$.
Also nimm ir ein $z$ mit $|z| < [mm] \min\{ r_1, r_2 \}$ [/mm] und benutze die Aussage uebers Cauchyprodukt 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Di 07.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hört sich sehr gut an. Jetzt sollte ich es hinbekommen. Danke!
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