Beweis zu Maßkonvergenz < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $M\subset\IR$ [/mm] messbar und [mm] $f,f_n \in L_2(M)$. [/mm] Es gelte [mm] $\|f_n-f\|_2\to [/mm] 0, [mm] n\to\infty$. [/mm] Zeigen Sie [mm] $f_n$ [/mm] konvergiert dem Maße nach gegen $f$. |
Hallo zusammen,
[mm] $\|f_n-f\|_2\to [/mm] 0, [mm] n\to\infty$ [/mm] beduetet: [mm] $\left(\int_M |f_n-f|^2 \; d\mu \right)^{1/2}\to [/mm] 0, [mm] \; n\to\infty$
[/mm]
Dann gilt aber auch: [mm] $\int_M |f_n-f|^2 \; d\mu\to [/mm] 0, [mm] \; n\to\infty$
[/mm]
und daraus folgt: [mm] $\int_M |f_n-f|\; d\mu\to [/mm] 0 , [mm] \; n\to\infty$
[/mm]
Also gilt [mm] |f_n-f|\to [/mm] 0 fast überall für [mm] n\to\infty. [/mm] Das bedeutet [mm] f_n [/mm] konvergiert pktw. f.ü. gegen f und nach dem Satz von Lebesgue folgt, dass [mm] f_n [/mm] auch dem Maße nach gegen f konvergiert.
Sind die ganzen Schritte oben so korrekt?
Danke, viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]M\subset\IR[/mm] messbar und [mm]f,f_n \in L_2(M)[/mm]. Es gelte
> [mm]\|f_n-f\|_2\to 0, n\to\infty[/mm]. Zeigen Sie [mm]f_n[/mm] konvergiert
> dem Maße nach gegen [mm]f[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> [mm]\|f_n-f\|_2\to 0, n\to\infty[/mm] beduetet: [mm]\left(\int_M |f_n-f|^2 \; d\mu \right)^{1/2}\to 0, \; n\to\infty[/mm]
>
> Dann gilt aber auch: [mm]\int_M |f_n-f|^2 \; d\mu\to 0, \; n\to\infty[/mm]
>
> und daraus folgt: [mm]\int_M |f_n-f|\; d\mu\to 0 , \; n\to\infty[/mm]
>
Ich zweifle noch daran, dass das letzte i.A. gilt. Wenn nämlich [mm]|f_n-f|[/mm] kleiner als 1 ist, dann ist nämlich [mm]|f_n-f|^2 \ kleiner \ als \ |f_n-f|[/mm]. Ich denke mal da kann man irgend ein Gegenbeispiel mit [mm]M = \IR[/mm] und irgendwie was mit [mm] \frac{1}{n} [/mm] und [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] basteln.
Aber ich bin mir nicht sicher. Wie würdest du denn den letzten Schritt formal begründen?
edit: Ich glaube sogar, dass [mm]|f_n-f|[/mm] nicht mal integrierbar sein muss, wenn [mm]|f_n-f|^2[/mm] es ist. Nehmen wir [mm]M = (1,\infty)[/mm], dann kann [mm]|f_n-f|(x) = \frac{1}{nx}[/mm] sein.
> Also gilt [mm]|f_n-f|\to[/mm] 0 fast überall für [mm]n\to\infty.[/mm] Das
> bedeutet [mm]f_n[/mm] konvergiert pktw. f.ü. gegen f und nach dem
> Satz von Lebesgue folgt, dass [mm]f_n[/mm] auch dem Maße nach gegen
> f konvergiert.
>
> Sind die ganzen Schritte oben so korrekt?
>
> Danke, viele Grüße
> Patrick
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> > Sei [mm]M\subset\IR[/mm] messbar und [mm]f,f_n \in L_2(M)[/mm]. Es gelte
> > [mm]\|f_n-f\|_2\to 0, n\to\infty[/mm]. Zeigen Sie [mm]f_n[/mm] konvergiert
> > dem Maße nach gegen [mm]f[/mm].
> > Hallo zusammen,
> >
> > [mm]\|f_n-f\|_2\to 0, n\to\infty[/mm] beduetet: [mm]\left(\int_M |f_n-f|^2 \; d\mu \right)^{1/2}\to 0, \; n\to\infty[/mm]
>
> >
> > Dann gilt aber auch: [mm]\int_M |f_n-f|^2 \; d\mu\to 0, \; n\to\infty[/mm]
>
> >
> > und daraus folgt: [mm]\int_M |f_n-f|\; d\mu\to 0 , \; n\to\infty[/mm]
>
> >
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> Ich zweifle noch daran, dass das letzte i.A. gilt. Wenn
> nämlich [mm]|f_n-f|[/mm] kleiner als 1 ist, dann ist nämlich
> [mm]|f_n-f|^2 \ kleiner \ als \ |f_n-f|[/mm]. Ich denke mal da kann
> man irgend ein Gegenbeispiel mit [mm]M = \IR[/mm] und irgendwie was
> mit [mm]\frac{1}{n}[/mm] und [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] basteln.
> Aber ich bin mir nicht sicher. Wie würdest du denn den
> letzten Schritt formal begründen?
Gar nicht, das ist leider mein Problem! Aber die erste Folgerung stimmt noch? Ist es egal, ob ich [mm] $\|\cdot\|_2$ [/mm] oder [mm] $\|\cdot\|_2^2$ [/mm] betrachte?
Leider weiß ich nun gar nicht, wie ich weitermachen könnte...
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> edit: Ich glaube sogar, dass [mm]|f_n-f|[/mm] nicht mal integrierbar
> sein muss, wenn [mm]|f_n-f|^2[/mm] es ist. Nehmen wir [mm]M = (1,\infty)[/mm],
> dann kann [mm]|f_n-f|(x) = \frac{1}{nx}[/mm] sein.
>
> > Also gilt [mm]|f_n-f|\to[/mm] 0 fast überall für [mm]n\to\infty.[/mm] Das
> > bedeutet [mm]f_n[/mm] konvergiert pktw. f.ü. gegen f und nach dem
> > Satz von Lebesgue folgt, dass [mm]f_n[/mm] auch dem Maße nach gegen
> > f konvergiert.
> >
> > Sind die ganzen Schritte oben so korrekt?
> >
> > Danke, viele Grüße
> > Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
Ich hätte bloß eine Idee, weiss aber nicht, ob sie zum Ziel führt.
Man könnte versuchen es ungefähr so ähnlich zu machen wie in der anderen Aufgabe, also man betrachtet Mengen der Form [mm]M_{n,m} := \{x \in M : m+1 \ge | f_m - f |^2 (x) > m \}[/mm].
Hier kriegen wir nämlich das Quadrat weg, denn [mm]M_{n,m} = \{x \in M : \sqrt{m+1} \ge | f_m - f | (x) > \sqrt{m} \}[/mm].
Und jetzt irgendwie so ähnlich wie in der anderen Aufgabe rechnen und irgendwann noch einfließen lassen, dass [mm] \| f_m-f \|_2^2 \to 0[/mm] gilt (z.B. müsste dann die eine Reihe, die wir in der anderen Aufgabe haben, ebenfalls gegen Null gehen).
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Hallo! 
> Ich hätte bloß eine Idee, weiss aber nicht, ob sie zum Ziel
> führt.
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> Man könnte versuchen es ungefähr so ähnlich zu machen wie
> in der anderen Aufgabe, also man betrachtet Mengen der Form
> [mm]M_{n,m} := \{x \in M : m+1 \ge | f_m - f |^2 (x) > m \}[/mm].
>
> Hier kriegen wir nämlich das Quadrat weg, denn [mm]M_{n,m} = \{x \in M : \sqrt{m+1} \ge | f_m - f | (x) > \sqrt{m} \}[/mm].
Warum haben bei dir die Megen zwei Indizies und in der Menge selber taucht aber nur noch das m auf...? Soll die Funktionenfolge evtl. [mm] f_n [/mm] sein?
>
> Und jetzt irgendwie so ähnlich wie in der anderen Aufgabe
> rechnen und irgendwann noch einfließen lassen, dass [mm]\| f_m-f \|_2^2 \to 0[/mm]
> gilt (z.B. müsste dann die eine Reihe, die wir in der
> anderen Aufgabe haben, ebenfalls gegen Null gehen).
Das heißt also, statt dem Integral, summiere ich wieder über diese ganzen Mengen.. ähm wie genau stelle ich das hier an?
Danke,
viele Grüße Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 12.04.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
vielleicht etwas naiv gefragt, ich hab's mir nicht en Detail überlegt.
Konvergenz dem Maße nach heißt doch
[mm] $\forall \varepsilon>0$
[/mm]
[mm] $\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\to [/mm] 0$
Aber in [mm] \{|f_n-f|>\varepsilon\} [/mm] kann man doch jeweils Rechtecke mit Höhe [mm] $\varepsilon^2$ [/mm] einpassen - zumindest in mindestens einem Teilintervall.
Damit kann das zugehörige Integral auch nicht gegen 0 gehen.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 So 12.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hi,
>
> vielleicht etwas naiv gefragt, ich hab's mir nicht en
> Detail überlegt.
>
> Konvergenz dem Maße nach heißt doch
>
> [mm]\forall \varepsilon>0[/mm]
> [mm]\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\to 0[/mm]
>
>
> Aber in [mm]\{|f_n-f|>\varepsilon\}[/mm] kann man doch jeweils
> Rechtecke mit Höhe [mm]\varepsilon^2[/mm] einpassen - zumindest in
> mindestens einem Teilintervall.
>
> Damit kann das zugehörige Integral auch nicht gegen 0
> gehen.
>
> ciao
> Stefan
Versteh' ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 So 12.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo!
>
> > Ich hätte bloß eine Idee, weiss aber nicht, ob sie zum Ziel
> > führt.
> >
> > Man könnte versuchen es ungefähr so ähnlich zu machen wie
> > in der anderen Aufgabe, also man betrachtet Mengen der Form
> > [mm]M_{n,m} := \{x \in M : m+1 \ge | f_m - f |^2 (x) > m \}[/mm].
>
> >
> > Hier kriegen wir nämlich das Quadrat weg, denn [mm]M_{n,m} = \{x \in M : \sqrt{m+1} \ge | f_m - f | (x) > \sqrt{m} \}[/mm].
>
> Warum haben bei dir die Megen zwei Indizies und in der
> Menge selber taucht aber nur noch das m auf...? Soll die
> Funktionenfolge evtl. [mm]f_n[/mm] sein?
>
Ja, richtig.
> >
> > Und jetzt irgendwie so ähnlich wie in der anderen Aufgabe
> > rechnen und irgendwann noch einfließen lassen, dass [mm]\| f_m-f \|_2^2 \to 0[/mm]
> > gilt (z.B. müsste dann die eine Reihe, die wir in der
> > anderen Aufgabe haben, ebenfalls gegen Null gehen).
>
> Das heißt also, statt dem Integral, summiere ich wieder
> über diese ganzen Mengen.. ähm wie genau stelle ich das
> hier an?
Ich hab eine bessere Idee.
Angenommen, wie haben nicht [mm]\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\to 0[/mm]. Wir nehmen uns irgendeine konvergente Teilfolge [mm] f_{n_k}, [/mm] also [mm]\mu(\underbrace{\{|f_{n_k}-f|>\varepsilon_0 \}}_{=: M_{n_k}})\to \eta_0[/mm], und dann gilt [mm] \int_M |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu = \int_{M_{n_k}} |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu + \int_{M \setminus M_{n_k}} |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu[/mm] und das erste Integral wird wegen [mm]|f_{n_k}-f|>\varepsilon_0 \ und \ \mu(M_{n_k}) \to \eta_0[/mm] positiv sein, was ein Widerspruch ist.
Es gäbe noch den Fall, dass es keine solche konvergente Teilfolge gibt, aber dann würde der Ausdruck bestimmt divergieren, wo der Fall ja dann eh klar wäre.
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> Ich hab eine bessere Idee.
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> Angenommen, wie haben nicht [mm]\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\to 0[/mm].
> Wir nehmen uns irgendeine konvergente Teilfolge [mm]f_{n_k},[/mm]
> also [mm]\mu(\underbrace{\{|f_{n_k}-f|>\varepsilon_0 \}}_{=: M_{n_k}})\to \eta_0[/mm],
> und dann gilt [mm]\int_M |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu = \int_{M_{n_k}} |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu + \int_{M \setminus M_{n_k}} |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu[/mm]
> und das erste Integral wird wegen [mm]|f_{n_k}-f|>\varepsilon_0 \ und \ \mu(M_{n_k}) \to \eta_0[/mm]
> positiv sein, was ein Widerspruch ist.
> Es gäbe noch den Fall, dass es keine solche konvergente
> Teilfolge gibt, aber dann würde der Ausdruck bestimmt
> divergieren, wo der Fall ja dann eh klar wäre.
Warum muss man denn eine Teilfolge nehmen? Kann man nich sagen:
Annahme: [mm] $\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\not\to [/mm] 0$, also [mm] $\mu(\underbrace{\{|f_{n}-f|>\varepsilon_0 \}}_{=: M_{n}})\to [/mm] C$ mit [mm] C\in\IR^{>0} [/mm] konstant.
Dann [mm] $\int_M |f_{n}-f|^2 \; d\mu [/mm] = [mm] \int_{M_{n}} |f_{n}-f|^2 \; d\mu [/mm] + [mm] \int_{M \setminus M_{n}} |f_{n}-f|^2 \; d\mu$
[/mm]
Nun ist aber:
[mm] $\int_{M_{n}} |f_{n}-f|^2 \; d\mu [/mm] > [mm] \int_{M_n} \varepsilon^2 \; d\mu [/mm] = [mm] \mu(M_n) [/mm] * [mm] \varepsilon^2 [/mm] >0 [mm] \; \; \forall n\in\mathbb{N}$
[/mm]
Da das zweite Integral [mm] $\ge [/mm] 0$, kann [mm] $\int_M |f_{n}-f|^2 \; d\mu$ [/mm] nicht gegen Null konvergieren. Insbesondere auch nicht [mm] $\wurzel{\int_M |f_{n}-f|^2 \; d\mu}\to [/mm] 0, [mm] n\to\infty$
[/mm]
Wdspr. zur Voraussetzung.
Geht das nicht auch so? Oder muss man es unbedingt über die Teilfolge machen?
Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:42 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Ich hab eine bessere Idee.
> >
> > Angenommen, wie haben nicht [mm]\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\to 0[/mm].
> > Wir nehmen uns irgendeine konvergente Teilfolge [mm]f_{n_k},[/mm]
> > also [mm]\mu(\underbrace{\{|f_{n_k}-f|>\varepsilon_0 \}}_{=: M_{n_k}})\to \eta_0[/mm],
> > und dann gilt [mm]\int_M |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu = \int_{M_{n_k}} |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu + \int_{M \setminus M_{n_k}} |f_{n_k}-f|^2 \; d\mu[/mm]
> > und das erste Integral wird wegen [mm]|f_{n_k}-f|>\varepsilon_0 \ und \ \mu(M_{n_k}) \to \eta_0[/mm]
> > positiv sein, was ein Widerspruch ist.
> > Es gäbe noch den Fall, dass es keine solche konvergente
> > Teilfolge gibt, aber dann würde der Ausdruck bestimmt
> > divergieren, wo der Fall ja dann eh klar wäre.
>
>
> Warum muss man denn eine Teilfolge nehmen? Kann man nich
> sagen:
>
> Annahme: [mm]\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\not\to 0[/mm], also
> [mm]\mu(\underbrace{\{|f_{n}-f|>\varepsilon_0 \}}_{=: M_{n}})\to C[/mm]
> mit [mm]C\in\IR^{>0}[/mm] konstant.
nein, sofern ich Dich richtig verstehe. Du hast oben doch eine Folge der Bauart [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] wobei [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (sofern ich das richtig überblickt habe).
(Es wäre wohl [mm] $a_n=\mu(M_n)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] bei Dir/Euch.)
Wenn nun [mm] $a_n \underset{n \to \infty}{\not\!\!\!\longrightarrow} 0\,,$ [/mm] so muss nicht [mm] $a_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] C$ mit einem $C > 0$ gelten. Das würde doch nur dann gelten, wenn [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] zwar keine Nullfolge, aber zudem konvergent wäre.
Bei [mm] $a_n \underset{n \to \infty}{\not\!\!\!\longrightarrow} [/mm] 0$ kann es aber doch durchaus auch sein, dass [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine divergente Folge ist.
Was man aber für [mm] $a_n \underset{n \to \infty}{\not\!\!\!\longrightarrow} [/mm] 0$ (mit [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ für alle $n [mm] \in \IN$) [/mm] weiß:
Es gibt ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass unendlich viele Folgenglieder von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] größer als [mm] $\epsilon_0$ [/mm] sind, m.a.W.:
Zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert (mindestens) ein $N [mm] \ge [/mm] n$ mit
[mm] $$|a_N-0|\;\underset{da\;a_N \ge 0}{=}\;a_N [/mm] > [mm] \epsilon_0\,.$$
[/mm]
Merle hat nun quasi zwei Fälle unterschieden:
Gelte [mm] $a_n \underset{n \to \infty}{\not\!\!\!\longrightarrow} 0\,.$ [/mm]
1. Fall: Es existiert eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die gegen eine Zahl [mm] $\eta_0 [/mm] > 0$ konvergiert. Dann...
2. Fall: Es existiere keine solche Teilfolge. Dann ist [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] hier aber sicher nach oben unbeschränkt. Folglich existiert dann hier eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $a_{n_k} \underset{k \to \infty}{\longrightarrow} \infty\,.$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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