www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Beweis zu charakt. Polynom
Beweis zu charakt. Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis zu charakt. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Mo 31.03.2014
Autor: Kartoffelchen

Aufgabe
Zu zeigen ist, dass das charakteristische Polynom folgende Form besitzt:

[mm] $P_A(\lambda) [/mm] = [mm] (-1)^n \lambda^n [/mm] + [mm] (-1)^{n-1} [/mm] tr [mm] \operatorname{tr}(A)\lambda^{n-1} [/mm] + ... + det [mm] +\dots +\det(A)$ [/mm]

wobei $A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K) $

Hallöchen,

für diesen Beweis habe ich ein paar Ideen, an deren Umsetzung es mal wieder recht mangelt.

Interessant wäre es, wenn ich folgendes zunächst zeigen könnte:
1) Für das charakteristische Polynom einer (nxn-Matrix) gitl [mm] $f(\lambda) [/mm] = [mm] (a_{11} [/mm] - [mm] \lambda)(a_{22} [/mm] - [mm] \lambda)...(a_{nn}-\lambda) [/mm] + [mm] g(\lambda)$, [/mm] wobei [mm] $g(\lambda)$ [/mm] ein Polynom ist.


1) Multipliziert man das aus, ergibt sich:
$ [mm] (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)...(a_{nn}-\lambda)=(-\lambda)^n \cdot (-\lambda)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})+h(\lambda)$ [/mm]


Der Rest muss irgendwie folgen. Oder sollte ich das ganze anders angehen?

Lg

        
Bezug
Beweis zu charakt. Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:26 Di 01.04.2014
Autor: Richie1401

Hi Kartoffelchen,

es mangelt eventuell nicht nur an der Umsetzung, sondern schon an der Schreibweise ;-)

Hier z.B.:

> [mm]P_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} [red]tr \operatorname{tr}[/red](A)\lambda^{n-1} + ... + [red]det [/red]+\dots +\det(A)[/mm]

Was soll das bedeuten? Da steht auch zweimal "tr" (für die Spur). Und dann steht aber auch mal weiter hinten [mm] \det [/mm] völlig allein, was natürlich keinen Sinn macht.

Vielleicht kannst du deine Formel noch einmal überprüfen. Dann kann man sicherlich besser helfen.

Schönen Tag.


Bezug
        
Bezug
Beweis zu charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Di 01.04.2014
Autor: angela.h.b.


> Zu zeigen ist, dass das charakteristische Polynom folgende
> Form besitzt:
>  
> [mm]P_A(\lambda) = (-1)^n \lambda^n + (-1)^{n-1} tr \operatorname{tr}(A)\lambda^{n-1} + ... + det +\dots +\det(A)[/mm]

:

Hallo,

so wird das nix...

Du möchtest sicher zeigen

[mm] P_A(\lambda) [/mm] = [mm] (-1)^n \lambda^n [/mm] + [mm] a_{n-1}\lambda^{n-1} +a_{n-2}\lambda^{n-2} [/mm] + ... + [mm] a_1\lambda^1 +a_0, [/mm]

wobei stets

[mm] a_{n-1}=(-1)^{n-1} \operatorname{tr}(A) [/mm]  und [mm] a_0=(-1)^ndet(A). [/mm]


Es ist [mm] P_A(\lambda)=det(A-\lambda [/mm] E), und nun könnte die Leibnizformel weiterhelfen.

LG Angela



>  
> wobei [mm]A \in M(n \times n, K)[/mm]
>  Hallöchen,
>  
> für diesen Beweis habe ich ein paar Ideen, an deren
> Umsetzung es mal wieder recht mangelt.
>  
> Interessant wäre es, wenn ich folgendes zunächst zeigen
> könnte:
>  1) Für das charakteristische Polynom einer (nxn-Matrix)
> gitl [mm]f(\lambda) = (a_{11} - \lambda)(a_{22} - \lambda)...(a_{nn}-\lambda) + g(\lambda)[/mm],
> wobei [mm]g(\lambda)[/mm] ein Polynom ist.
>
>
> 1) Multipliziert man das aus, ergibt sich:
>  
> [mm](a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)...(a_{nn}-\lambda)=(-\lambda)^n \cdot (-\lambda)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})+h(\lambda)[/mm]
>  
>
> Der Rest muss irgendwie folgen. Oder sollte ich das ganze
> anders angehen?
>  
> Lg


Bezug
                
Bezug
Beweis zu charakt. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Di 01.04.2014
Autor: Kartoffelchen

Hallo Angela & Co.,

verzeiht bitte die derben Tippfehler..

Nun, nachdem ich mich sehr rudimentär in die Leibniz-Formel http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Leibniz-Formel eingelesen habe, stellt sich mir die Frage:

Was sind nun die Permutationen in den Matrizen?

Ich melde mich dann morgen früh gleich noch einmal, wollte nur gerne die Frage noch los werden!

Bezug
                        
Bezug
Beweis zu charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:21 Mi 02.04.2014
Autor: angela.h.b.


> Nun, nachdem ich mich sehr rudimentär in die
> Leibniz-Formel
> http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Leibniz-Formel
> eingelesen habe, stellt sich mir die Frage:
>  
> Was sind nun die Permutationen in den Matrizen?

Hallo,

es gibt hier keine Permutationen "in den Matrizen".


Leibnizformel:
Sei [mm] A:=(a_i_j) [/mm] eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix.
Es ist
    [mm] \det [/mm] A = [mm] \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right) [/mm]

Was haben wir hier?
Eine Summe. Summiert wird über alle Permutation der Zahlen von 1 bis n.
Es gibt n! solcher Permutationen, also haben wir n! Summanden.

Was wird aufsummiert?
Gewisse Produkte von Einträgen der Matrix - mal mit pos. mal mit neg. Vorzeichen, was wir zunächst zurückstellen.

Die Produkte sind
   [mm] \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}=a_{1, \sigma(1)}*a_{2, \sigma(2)}*...*a_{n, \sigma(n)}. [/mm]
Es werden für die Determinante also alle Produkte gebildet von Einträgen der Matrix, die aus verschiedenen Zeilen und Spalten stammen.

Das Vorzeichen bestimmt [mm] \operatorname{sgn}(\sigma). [/mm]
Es ist pos., wenn man die Permutation als gerade Anzahl von Transpositionen schreiben kann, sonst negativ.
(Lies das selbst nach und mach Dich schlau.)

Du ahnst, daß die Formel für die wirkliche Berechnung von Matrizen nichts taugt.



Ich mache es jetzt aber trotzdem mal für eine [mm] 3\times [/mm] 3 Matrix [mm] A:=(a_i_j) [/mm] vor,damit Du verstehst, was geschieht:

Zunächst  listen wir alle Permutationen von [mm] \{1,2,3\}: [/mm]

[mm] \sigma_1: [/mm]
1--1
2--2
3--3
[mm] sgn(\sigma_1)=1 [/mm]

[mm] \sigma_2: [/mm]
1--1
2--3
3--2
[mm] sgn(\sigma_2)=-1 [/mm]

[mm] \sigma_3: [/mm]
1--3
2--2
3--1
[mm] sgn(\sigma_3)=-1 [/mm]

[mm] \sigma_4: [/mm]
1--2
2--1
3--3
[mm] sgn(\sigma_4)=-1 [/mm]

[mm] \sigma_5: [/mm]
1--3
2--1
3--2
[mm] sgn(\sigma_3)=1 [/mm]

[mm] \sigma_6: [/mm]
1--2
2--3
3--1
[mm] sgn(\sigma_6)=1 [/mm]

Es ist

[mm] \det [/mm] A = [mm] \sum_{\sigma \in S_3} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^3 a_{i, \sigma(i)}\right) [/mm]

[mm] =\sum_{\sigma \in S_3} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)}a_{2, \sigma(2)}a_{3, \sigma(3)}\right) [/mm]

= [mm] \left(\operatorname{sgn}(\sigma_1) a_{1, \sigma_1(1)}a_{2, \sigma_1(2)}a_{3, \sigma_1(3)}\right) [/mm] + [mm] \left(\operatorname{sgn}(\sigma_2) a_{1, \sigma_2(1)}a_{2, \sigma_2(2)}a_{3, \sigma_2(3)}\right) [/mm] +...+ [mm] \left(\operatorname{sgn}(\sigma_6) a_{1, \sigma_6(1)}a_{2, \sigma_6(2)}a_{3, \sigma_6(3)}\right) [/mm]

= [mm] \left(1* a_{1, 1}a_{2, 2}a_{3, 3}\right) [/mm] + [mm] \left((-1)* a_{1, 1}a_{2, 3}a_{3, 2}\right) [/mm] +...+ [mm] \left(1* a_{1,2}a_{2, 3}a_{3, 1}\right) [/mm]


Um Deine Aufgabe zu lösen, pickst Du Dir dann die passenden Summanden aus den n! Summanden heraus.

LG Angela








Bezug
                                
Bezug
Beweis zu charakt. Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:01 Mi 02.04.2014
Autor: Kartoffelchen

Aha, aha, aha! Danke für die ausführliche Demonstration!

Ich betrachte jetzt dann mal

[mm] $\det [/mm] (A - [mm] \lambda [/mm] E) =  [mm] \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n [a_{i, \sigma(i)} - e_{i, \sigma(i)}\cdot \lambda \right) [/mm] $

In der Einheitsmatrix sind alle Komponenten gleich 0, außer wenn $i = [mm] \sigma(i)$, [/mm] d.h. dann ist [mm] $e_{i, \sigma(i)} [/mm] = 1$, sonst 0.

Ich zerlege daher die lange Summe einmal in zwei Summanden:

1. Summand: Hier betrachte ich nur den Fall $ [mm] \sigma [/mm] = [mm] Id_{S_n}$. [/mm] Ich erhalte daher [mm] $sgn(\sigma) [/mm] = 1$ und als Summanden

[mm] $\prod_{i=1}^n (a_{i,i} [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] = [mm] (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots (a_{nn} [/mm] - [mm] \lambda)$. [/mm]

2. Summand: Hier betrachte ich nun die übrigen Summanden, d.h. alle die zu [mm] $S_n \backslash \{id\}$ [/mm] gehören. Diese Summanden fasse ich als "2. Summanden" auf. Dieser 2. Summand ist ein Polynom, aber welchen Grades?



Bezug
                                        
Bezug
Beweis zu charakt. Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mi 02.04.2014
Autor: angela.h.b.


> Aha, aha, aha! Danke für die ausführliche Demonstration!
>  
> Ich betrachte jetzt dann mal
>  
> [mm]\det (A - \lambda E) = \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n [a_{i, \sigma(i)} - e_{i, \sigma(i)}\cdot \lambda \right)[/mm]
>  
> In der Einheitsmatrix sind alle Komponenten gleich 0,
> außer wenn [mm]i = \sigma(i)[/mm], d.h. dann ist [mm]e_{i, \sigma(i)} = 1[/mm],
> sonst 0.
>  
> Ich zerlege daher die lange Summe einmal in zwei
> Summanden:
>  
> 1. Summand: Hier betrachte ich nur den Fall [mm]\sigma = Id_{S_n}[/mm].
> Ich erhalte daher [mm]sgn(\sigma) = 1[/mm] und als Summanden
>  
> [mm]\prod_{i=1}^n (a_{i,i} - \lambda) = (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots (a_{nn} - \lambda)[/mm].
>  
> 2. Summand: Hier betrachte ich nun die übrigen Summanden,
> d.h. alle die zu [mm]S_n \backslash \{id\}[/mm] gehören. Diese
> Summanden fasse ich als "2. Summanden" auf. Dieser 2.
> Summand ist ein Polynom, aber welchen Grades?

Hallo,

mach Dir klar, daß keiner der Teilsummanden Deines 2.Summanden mehr als (n-2)-mal einen Faktor mit [mm] \lambda [/mm] enthalten kann.
Der 2.Summand ist also ein Polynom vom Grad (n-2).

LG Angela

>
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]