Beweis zu komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | | Beweisen Sie : Für [mm] q\in\IC [/mm] mit |q| < 1 und k [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] n^kq^n \to [/mm] 0 [mm] (n\to\infty) [/mm] |
Hat da jemand eine Idee? Ich finde keinen Anfang!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie : Für [mm]q\in\IC[/mm] mit |q| < 1 und k [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]n^kq^n \to[/mm] 0 [mm](n\to\infty)[/mm]
> Hat da jemand eine Idee? Ich finde keinen Anfang!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Betrachte mal die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^kq^n. [/mm] Zeige mit dem Wurzelkriterium, dass diese Reihe konvergiert. Also ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
tut mir leid ich glaub ich steh komplett auf dem Schlauch !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
kannst du mir das vielleicht genauer beschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ulla!
Hinter der Idee von Fred steckt, dass bei einer konvergenten Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}a_n$ [/mm] die aufzusummierenden Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge bilden müssen (notwendiges Kriterium für Reihenkonvergenz).
Wende also auf [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}n^k*q^n$ [/mm] das ![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium an:
[mm] $$\wurzel[n]{\left| \ a_n \ \right|} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{\left| \ n^k*q^n \ \right|} [/mm] \ = \ ...$$
Wenn dieser Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] echt-kleiner als 1 beträgt, ist Deine o.g. Behauptung beweisen.
Gruß
Loddar
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