Beweis zum Störungssatz < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Petite |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in \IR^{n\times n} [/mm] invertierbar und [mm] ||\cdot||:\IR^{n\times n}\to \IR [/mm] eine beliebige induzierte Operatornorm. Man zeige, dass folgende Implikation für alle [mm] \Delta A\in\IR^{n\times n} [/mm] gilt:
[mm] ||\Delta A||<\bruch{1}{||A^{-1}||}\Rightarrow A+\Delta [/mm] A ist invertierbar. |
Ich schaffe es leider nur [mm] A-\Delta [/mm] A ist invertierbar zu beweisen, was nicht verlangt war. Vllt könnt ihr mir weiterhelfen, ob ich einen komplett falschen Ansatz gewählt habe oder ich nur an einer Stelle was ändern muss.
Hier das, was ich zu beweisen geschafft habe:
Sei [mm] \Delta [/mm] A=A-B
[mm] \bruch{1}{||A^{-1}||}||x||= \bruch{1}{||A^{-1}||}\cdot||A^{-1}Ax||\le \bruch{||A^{-1}||}{||A^{-1}||}\cdot||Ax||=||Ax||=||(A-B)x+Bx||\le ||(A-B)x||+||Bx||\le ||A-B||\cdot [/mm] ||x||+||Bx|| [mm] =||\Delta A||\cdot [/mm] ||x||+||Bx||
[mm] \Rightarrow [/mm] ||Bx|| [mm] \ge \bruch{||x||}{||A^{-1}||}-||\Delta A||\cdot [/mm] ||x||= [mm] \bruch{||\delta A||}{||A^{-1}||}\cdot [/mm] ||x||>0, da Bruch >0
[mm] \Rightarrow [/mm] ||Bx||>0 für alle [mm] x\not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] B invertierbar
[mm] \Rightarrow A-\Delta [/mm] A invertierbar
Danke für eure Hilfe, schon im im Vorraus.
Lg Petite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mi 05.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A\in \IR^{n\times n}[/mm] invertierbar und
> [mm]||\cdot||:\IR^{n\times n}\to \IR[/mm] eine beliebige induzierte
> Operatornorm. Man zeige, dass folgende Implikation für alle
> [mm]\Delta A\in\IR^{n\times n}[/mm] gilt:
> [mm]||\Delta A||<\bruch{1}{||A^{-1}||}\Rightarrow A+\Delta[/mm] A
> ist invertierbar.
> Ich schaffe es leider nur [mm]A-\Delta[/mm] A ist invertierbar zu
> beweisen, was nicht verlangt war. Vllt könnt ihr mir
> weiterhelfen, ob ich einen komplett falschen Ansatz gewählt
> habe oder ich nur an einer Stelle was ändern muss.
>
> Hier das, was ich zu beweisen geschafft habe:
> Sei [mm]\Delta[/mm] A=A-B
> [mm]\bruch{1}{||A^{-1}||}||x||= \bruch{1}{||A^{-1}||}\cdot||A^{-1}Ax||\le \bruch{||A^{-1}||}{||A^{-1}||}\cdot||Ax||=||Ax||=||(A-B)x+Bx||\le ||(A-B)x||+||Bx||\le ||A-B||\cdot[/mm]
> ||x||+||Bx|| [mm]=||\Delta A||\cdot[/mm] ||x||+||Bx||
> [mm]\Rightarrow[/mm] ||Bx|| [mm]\ge \bruch{||x||}{||A^{-1}||}-||\Delta A||\cdot[/mm]
> ||x||= [mm]\bruch{||\delta A||}{||A^{-1}||}\cdot[/mm] ||x||>0, da
> Bruch >0
Das letzte Gleichheitszeichen verstehe ich nicht !! ??
> [mm]\Rightarrow[/mm] ||Bx||>0 für alle [mm]x\not=[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] B invertierbar
> [mm]\Rightarrow A-\Delta[/mm] A invertierbar
>
> Danke für eure Hilfe, schon im im Vorraus.
> Lg Petite
>
Es geht viel einfacher:
Sei B:= [mm] A+\Delta [/mm] A und E die Einheitsmatrix. Es genügt , zu zeigen, dass kern(B) = {0} ist.
Sei also x [mm] \in [/mm] kern(B). Wir nehmen an, es sei x [mm] \not= [/mm] 0. Dann können wir auch annehmen , dass ||x||=1 ist. wir haben also Ax = [mm] -(\Delta [/mm] A)x
Es folgt: ||Ax|| = [mm] ||(\Delta [/mm] A)x|| [mm] \le ||\Delta [/mm] A|| ||x|| = [mm] ||\Delta [/mm] A|| < [mm] \bruch{1}{||A^{-1}||}.
[/mm]
Damit ist ||A|| < [mm] \bruch{1}{||A^{-1}||}. [/mm] Es folgt
||A|| [mm] ||A^{-1}|| [/mm] <1 = ||E|| = [mm] ||AA^{-1}|| \le [/mm] ||A|| [mm] ||A^{-1}||, [/mm] ein Widerspruch
FRED
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