Beweis zum Supremum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Vergil |
| Aufgabe | Sind A, B nichtleere Mengen reeller Zahlen, so setzte man:
[mm] A*B := \left\{ ab : a \in A, b\in B \right\} [/mm]
z.Z. [mm] \sup(AB) = \inf A * \inf B [/mm] , falls alle Elemente von A und B nichtpositiv sind und A, B nach unten beschränkt. |
Ich versuche nun einen Beweis zu geben, bin aber nicht von seiner Richtigkeit überzeugt. Könnte das bitte jemand prüfen?
Beweis:
Setzte [mm] \inf A = \alpha, \inf B = \beta [/mm]
Nach der Defintion des Infinums ist dann
[mm] a_0 < \alpha + \varepsilon [/mm] und [mm] b_0 < \beta + \varepsilon [/mm] garantiert.
Ausserdem ist [mm] \alpha \le a \in A [/mm] , [mm] \beta \le b \in B[/mm]
Dann ist [mm] \alpha * \beta \ge a*b [/mm] und ist damit eine obere Schranke.
Wie oben schon genannt ist:
[mm] a_0 < \alpha + \bruch{3\varepsilon}{-2\beta} \Rightarrow \bruch{3\varepsilon}{2\beta} < \alpha - a_0 [/mm]
[mm] b_0 < \beta + \bruch{\varepsilon}{-2\alpha} \Rightarrow \bruch{3\varepsilon}{2\alpha} < \beta - b_0 [/mm]
[mm] a_0 b_0 = \alpha \beta + (\alpha - a_0) * (-\beta) + (\beta - b_0) * (-a_0) > \alpha \beta + (\alpha - a_0) * (-\beta) + (\beta - b_0) * \alpha > \alpha \beta - \bruch{3\varepsilon}{2} + \bruch{\varepsilon}{2} > \alpha \beta - \varepsilon[/mm]
Damit wäre doch alles gezeigt, doch mein Gefühl sagt mir, dass etwas nicht stimmt. Hoffentlich täusche ich mich. 
Danke für eure Antworten
Gruß
Valentin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Vergil |
Danke Secki für deine Antwort:
Da habe ich ja ein paar Zahlendreher reingebaut, die ich aber natürlich nicht so gemeint habe  .
Bei der zweiten Abschätzung habe ich mit folgendes überlegt:
Es ist ja
$ [mm] \beta \le [/mm] b $ für ein $b [mm] \in [/mm] B$ und damit auch [mm] $\beta [/mm] - b [mm] \le [/mm] 0 $ . Das ist also nichtpositiv.
$ [mm] (b_0 [/mm] - [mm] \beta) *a_0 \ge [/mm] 0$ ist dann nichtnegativ. Und dann ist ja $ [mm] (b_0 [/mm] - [mm] \beta) *(-\alpha) \le [/mm] 0$ also nicht positiv. So kam dann meine zweite Abschätzung zustande und da sollte auch mit $ [mm] \bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] abgeschätzt werden.
Ich habe mich gesträubt ein $ [mm] \bruch{\varepsilon}{2a_0}$ [/mm] zu verwenden, weil dann mein [mm] $\varepsilon$ [/mm] in einer Abhängigkeit von [mm] $a_0$ [/mm] steht. Ich bin mir nicht sicher, ob das so erlaubt ist, obwohl die Definition von Supremum/Infinum eigentlich es für jedes [mm] $\varepsilon$ [/mm] fordert. Damit wäre die Frage ja schon beantwortet.
Sagt mir oder sag mir einfach Bescheid, ob ich richtig liege oder nicht.
Wenn das aber erlaubt ist, kann ich all meine Lösungen zu solchen Aufgaben erheblich vereinfachen.
Danke und einen Gruß
Valentin
PS: Ab wann ist man kein NEWbie mehr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 03.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm](b_0 - \beta) *a_0 \ge 0[/mm] ist dann nichtnegativ. Und dann
> ist ja [mm](b_0 - \beta) *(-\alpha) \le 0[/mm] also nicht positiv.
> So kam dann meine zweite Abschätzung zustande und da sollte
> auch mit [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] abgeschätzt werden.
Okay, hab ich jetzt nicht im Detail überprüft, höhrt sich aber okay an (vom Gedankengang.). Man muss dann blos aufpassen, dass es mit den Epsilons wieder genau stimmt - das ist manchmal ne Frimelei. Und hier mein Rat: nimm am besten einfach nen Epsilon, rechne das weiter durch bis du etwasd hast was [m]\varepsilon*B[/m] mit positiven, nach oben Beschränkten B abgeschätzt werden kann, das reicht dann allemal, so zB erfüllt [m]\varepsilon*(-b+\varepsilon)[/m] die Bedingung, da ja der zweite Term für kleines Epsilon sicher großzügig nach oben abgeschätzt werden kann.
> Ich habe mich gesträubt ein [mm]\bruch{\varepsilon}{2a_0}[/mm] zu
> verwenden, weil dann mein [mm]\varepsilon[/mm] in einer Abhängigkeit
> von [mm]a_0[/mm] steht.
So what? Also, du machst ja folgendes: Du gibst dir ein Epsilon vor, dann findest du ein [m]a_0[/m] (mit irgednwelchen Konstantzen). Dann suchst du direin [m]b_0[/m] und verwurschtest dabei das [m]a_0[/m]. Kein Problem - es wäre blos problematisch, wenn beide gegenseitig von einander abhängen.
> Wenn das aber erlaubt ist, kann ich all meine Lösungen zu
> solchen Aufgaben erheblich vereinfachen.
Erlaubt ist immer so ne Sache - richtig ist es hier jedenfalls
> PS: Ab wann ist man kein NEWbie mehr?
Normalerweise nach einigen Artikeln / einiger Zeit automtaisch, keine Sorge, das wird schon
SEcki
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