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| Aufgabe | Beweisen Sie: Ist f: M [mm] \mapsto [/mm] N eine Abbildung, dann gilt für alle A [mm] \subset [/mm] M.
A [mm] \subset [/mm] f^(-1) (f(A)) |
Mein Ansatz ist:
[mm] \forall [/mm] x: x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] f^(-1)(f(A))
Leider komm ich jetzt einfach nicht darauf, was ich mit dem f^(-1)(f(A)) weiter anzufangen habe ;(
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 So 27.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie: Ist f: M [mm]\mapsto[/mm] N eine Abbildung, dann gilt
> für alle A [mm]\subset[/mm] M.
>
> A [mm]\subset[/mm] f^(-1) (f(A))
> Mein Ansatz ist:
>
> [mm]\forall[/mm] x: x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] f^(-1)(f(A))
genau das ist zu zeigen (Umformulierung der Behauptung).
Sei also $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig, aber fest. Dann gilt wegen [mm] $f(A):=\{\,f(a)\;:a \in A\}$ [/mm] sicher
[mm] $(\star)$ [/mm] $f(x) [mm] \in [/mm] ...$? (Bitte vervollständigen!)
Klar ist $f(A) [mm] \subseteq N\,.$ [/mm] Bekanntlich gilt für jedes $B [mm] \subseteq [/mm] N$
[mm] $f^{-1}(B)\,=\,\{\tilde{a} \in A:\;\;f(\tilde{a}) \in B\}\,,$
[/mm]
d.h.:
[mm] $\tilde{a} \in f^{-1}(B)$ $\iff$ $f(\tilde{a}) \in B\,.$
[/mm]
Um nun $x [mm] \in f^{-1}(f(A))=f^{-1}(B)$ [/mm] einzusehen, können wir in gleichwertiger Weise
nachweisen, dass
$f(x) [mm] \in [/mm] B$
gilt. Werfe nun nochmal einen Blick auf [mm] $(\star)$ [/mm] und beachte die Definition von [mm] $B\,,$
[/mm]
dann solltest Du sehen, dass wir hier also schon fertig sind.
(Am Ende sollte dann so ein Satz stehen: Wir haben gezeigt, dass für ein
beliebig gewähltes $x [mm] \in [/mm] A$ schon $x [mm] \in f^{-1}(f(A))$ [/mm] folgt. Also gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] A$
auch $x [mm] \in f^{-1}(f(A))\,,$ [/mm] also folgt...)
Gruß,
Marcel
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