Beweis zur Verschiebung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:46 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Eschie |
Wir sollen in Geometrie zeigen, dass die Hintereinanderausführung der Spiegelung an zwei parallelen Geraden einer Verschiebung um 2a entspricht, wobei a der Abstand zwischen den beiden Parallelen ist.
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
|PP'| = 2a mit [mm] S_g \circ S_h(P) [/mm] = P'
Nun hab ich es erstmal mit unseren Axiomen und Definitionen probiert, aber da bin ich bis jetzt noch nicht sehr weit gekommen. Außerdem irritiert es mich, dass man eine Fallunterscheidung für P machen soll.
Ich hab's jetzt mit Vektorrechnung probiert, auch wenn es wohl anders gefordert ist, aber das sollte ja auch ausreichen. Wenn irgendwer einen Vorschlag hat, wie man es noch beweisen könnte, dann wäre ich sehr verbunden.
Hier erstmal mein Ansatz:
Gegeben sei g,h [mm] \subset \Gamma [/mm] mit g || h und g [mm] \not= [/mm] h. a [mm] \in R^{+} [/mm] ist der Abstand zwischen g und h.
X-Achse: Die Senkrechte s zwischen g und h
Y-Achse: Erste Gerade, an der gespiegelt wird
Dann hätte ich ja für die erste Spiegelung die Vorschrift
[mm] \overrightarrow{v}'= \overrightarrow{v} \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Das ist ja auch nicht weiter schwer, wenn man die erste Gerade als Y Achse nimmt, da der X-Wert ja einfach im Vorzeichen geändert wird.
Nun brauche ich aber noch die Vorschrift für die zweite Spiegelung. Das wird wohl schwerer, da es ja jedes Mal anders ist, wo die sich befindet. Aber man weiß, dass der Abstand der beiden Parallelen auf der x-Achse ja genau a entspricht. Hier müsste man wohl eine Gleichung aufstellen, aber da ist mir noch nichts eingefallen.
Könnte man so anfangen? Und was könnte ich machen, damit ich auf die andere Bildungsvorschrift komme?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Eschie |
Ich hab noch ein bisschen rumprobiert und bin unter anderem auf die Gleichung
P' - a = a - [mm] P_s [/mm] gekommen.
Hier dazu mal die Skizze und Erklärung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
a ist in diesem Fall zwei, da die beiden Parallelen ja klar diesen Abstand haben. [mm] P_s [/mm] ist der Punkt nach der ersten Spiegelung. Setzt man nun alles mal in die Gleichung ein, so erhält man
3 - 2 = 2 - 1
1 = 1
Hab's auch mit einigen anderen Werten probiert, also scheint es wohl richtig zu sein. Hab es leider auf keinen besseren Weg hinbekommen, aber die Gleichung kann man ja nun auch einfach nach P' umstellen:
P' - a = a - [mm] P_s [/mm] | +a
P' = 2a - [mm] P_s
[/mm]
=> [mm] \overline{v}'' [/mm] = 2 [mm] \vektor{a \\ 0} [/mm] + [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
(2a ist ja nur eine Verschiebung auf der x Achse um den Faktor zwei und - [mm] P_s [/mm] ist ja eigentlich genau dasselbe wie die Spiegelung an der x-Achse)
Und das wäre ja die Abbildungsvorschrift für die zweite Spiegelung, oder? Tut mir leid wegen der verwirrenden Bezeichnung der beiden gespiegelten Punkte, aber in der Aufgabenstellung ist der zweite gespiegelte Punkt als P' gekennzeichnet. Daher kommt das.
Nun meine Frage: Wie kann ich die beiden kombinieren?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mi 13.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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