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| Aufgabe | Seien f : V [mm] \to [/mm] W und g : V [mm] \to [/mm] W 2 lineare Abbildungen zwischen endlich erzeugten K-VR, zeigen sie das
| rank(f) - rank(g) | [mm] \le [/mm] rank(f+g) [mm] \le [/mm] rank(f) + rank(g) |
Mein Ansatz:
Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich der Dimension vom Bild.
Dimensionformel für Abbildungen ergibt dann:
|dimV - dimKer(f) -dimV -dimKer(g) | [mm] \le [/mm] dim(V+V)-dimKer(f+g) [mm] \le [/mm] dimV - Ker(f) + dimV -Ker(g)
Dann Dimensionsformel für Vektorräume:
dim(V+V) entspricht : dim V + dim V - [mm] dim(V\cap [/mm] V)
einsetzen ergibt
|dimV - dimKer(f) -dimV -dimKer(g) | [mm] \le [/mm] dim V + dimV - dim(V [mm] \cap [/mm] V) - dim Ker(f+g) [mm] \le [/mm] dimV - dimKer(f) + dimV - dimKer(g)
vermutlich nicht wirklich richtig , welche Sätze muss ich denn auf jeden Fall verwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mo 28.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien f : V [mm]\to[/mm] W und g : V [mm]\to[/mm] W 2 lineare Abbildungen
> zwischen endlich erzeugten K-VR, zeigen sie das
>
> | rank(f) - rank(g) | [mm]\le[/mm] rank(f+g) [mm]\le[/mm] rank(f) + rank(g)
> Mein Ansatz:
>
> Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich der Dimension
> vom Bild.
>
> Dimensionformel für Abbildungen ergibt dann:
>
> [mm]|dimV - dimKer(f) -dimV -dimKer(g) | \le dim(V+V)-dimKer(f+g)\le dimV - Ker(f) + dimV -Ker(g)[/mm]
Da sind mehrere Fehler drin: f+g geht von V nach W, nicht von V+V nach W:
[mm] |\dim V -\dim \ker(f) -\dim V \red{+} \dim\ker(g) | \le \dim V - \dim \ker(f+g) \le \dim V -\dim \ker(f) + \dim V -\dim\ker(g)[/mm]
Zusammengefasst:
[mm] |\dim \ker(g)-\dim \ker(f)|\le \dim V - \dim \ker(f+g) \le 2\dim V -\dim \ker(f) -\dim\ker(g) [/mm]
Überleg dir, wie [mm] $\ker(f+g)$ [/mm] mit [mm] $\ker(f)$ [/mm] und [mm] $\ker(g)$ [/mm] zusammenhängt!
Viele Grüße
Rainer
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