Beweise Binomialkoeffizient < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:25 Fr 28.08.2009 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | Zeigen Sie für alle m, r, k [mm] \in [/mm] N durch kombinatorische Überlegungen:
1. [mm] \vektor{m \\ r} [/mm] * [mm] \vektor{r \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{m \\ k} [/mm] * [mm] \vektor{m - k \\ r - k}
[/mm]
2. [mm] \summe_{k=0}{r}\vektor{m \\ k} [/mm] * [mm] \vektor{m - k \\ r - k} [/mm] = [mm] 2^{r} [/mm] * {m [mm] \\ [/mm] r} |
Die erste Frage konnte ich ohne Probleme lösen, einfach den Binomialkoeffizienten überall eingesetzt (die Formel mit den Fakultäten) und am Ende kam rechts und links dasselbe raus:
[mm] \bruch{m!}{k!(m-r)!(r-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{m!}{k!(r-k)!(m-r)!}
[/mm]
Zur zweiten Fragestellung:
Ich hab mir mal gedacht das über Induktion zu machen, hat aber nicht ganz funktioniert.
Über die Formel mit dem Binomialkoeffizienten ist folgendes rausgekommen (also jetzt nur der linke teil):
[mm] \bruch{m!}{r!m!} [/mm] + [mm] \bruch{m!}{1!(r-1)!(m-r)!} [/mm] + ... + [mm] \bruch{m!}{r!(r-r)!(m-r)!}
[/mm]
Der letzte Bruch ist eben [mm] \vektor{m \\ r}. [/mm] Aber wie soll ich nun nachweisen, dass die Summe davor [mm] 2^{r} [/mm] ergibt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Fr 28.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest das doch mit kombinatorischen Ueberlegungen machen, also aus der komb. Definition der Binomialkoeff. nicht aus ihrer Fakultaetsschreibwiese.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie für alle m, r, k [mm]\in[/mm] N durch kombinatorische
> Überlegungen:
Wie leduart schon schrieb: du sollst nicht rechnen, sondern kombinatorisch argumentieren! (Ueber Anzahl von Teilmengen oder Kardinalitaet von gewissen Mengen z.B.)
Aber zu deinem rechnerischen Ansatz moechte ich auch noch etwas sagen:
> 2. [mm]\summe_{k=0}{r}\vektor{m \\ k}[/mm] * [mm]\vektor{m - k \\ r - k}[/mm]
> = [mm]2^{r}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
* {m [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
r}
Was soll $\{ m \; r \}$ bedeuten? Meinst du $\binom{m}{r}$?
> Zur zweiten Fragestellung:
> Ich hab mir mal gedacht das über Induktion zu machen, hat
> aber nicht ganz funktioniert.
> Über die Formel mit dem Binomialkoeffizienten ist
> folgendes rausgekommen (also jetzt nur der linke teil):
>
> [mm]\bruch{m!}{r!m!}[/mm] + [mm]\bruch{m!}{1!(r-1)!(m-r)!}[/mm] + ... +
> [mm]\bruch{m!}{r!(r-r)!(m-r)!}[/mm]
>
> Der letzte Bruch ist eben [mm]\vektor{m \\ r}.[/mm] Aber wie soll
> ich nun nachweisen, dass die Summe davor [mm]2^{r}[/mm] ergibt?
Eine solche Gleichung wirst du hoechstwahrscheinlich nicht direkt nachrechnen koennen. Stattdessen musst du auf Induktion zurueckgreifen, oder auf einen ganz anderen Trick, wie etwa $(x + [mm] 2)^m [/mm] = ((x + 1) + [mm] 1)^2$ [/mm] mit Hilfe des Binomialsatzes ausrechnen und Koeffizientenvergleich machen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 01.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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