Beweise: Lebesgue Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Sei f [mm] \in [/mm] L. Dann gilt [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = 0 <=> f = 0 fast überall auf [a,b] |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] \phi [/mm] eine Treppenfunktion auf [a,b] und [mm] \epsilon [/mm] > 0.
Zeige: Es existiert eine stetige Funktion g auf [a,b] so, dass
[mm] \parallel \phi [/mm] - g [mm] \parallel [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{ | \phi(t) - g(t)| dt} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] |
Hallo!
Ich habe die beiden folgenden Aufgaben als Übungsaufgaben auf. Bei der zweiten Aufgabe ist mir klar, dass ich eine stetige Funktion finden kann, die die Treppenfunktion "gut" approximieren kann. Jedoch fehlt mir etwas die Idee für den Beweis.
Bei der ersten Aufgabe fehlt mir komplett die Idee, wie ich an die Sache herangehen könnte.
Vielen Dank für jeden Tipp!
lg
Babapapa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Di 08.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei f [mm]\in[/mm] L. Dann gilt [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = 0 <=> f
> = 0 fast überall auf [a,b]
Was genau ist L? $f$ sollte ja zumindest [mm] $\ge [/mm] 0$ sein (f.ü.), sonst ist die Aussage falsch.
> Sei [mm]\phi[/mm] eine Treppenfunktion auf [a,b] und [mm]\epsilon[/mm] > 0.
> Zeige: Es existiert eine stetige Funktion g auf [a,b] so,
> dass
> [mm]\parallel \phi[/mm] - g [mm]\parallel[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{ | \phi(t) - g(t)| dt}[/mm]
> < [mm]\epsilon[/mm]
Nur sone Idee: Vielleicht klappt ja [mm] $$g(x):=\frac{1}{2\delta}\int_{x-\delta}^{x+\delta}\phi(t)\ [/mm] dt$$ wenn man [mm] $\delta>0$ [/mm] nur hinreichend klein wählt. Das klappt zum Beispiel bei der charakteristischen Funktion von [mm] $\IQ\cap[0,1]$ [/mm] oder [mm] $\IR\setminus\IQ\cap[0,1]$.
[/mm]
Gruß, Robert
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