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| Aufgabe | Sei [mm] $(G,\circ)$ [/mm] eine endliche Gruppe. Zeigen Sie, dass für jedes [mm] $g\in [/mm] G$ ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] existiert mit [mm] $g^{n} [/mm] := [mm] g\circ g\circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] g = [mm] e_{G}$
[/mm]
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Hallo!
Ich habe mich an dem Beweis versucht, bin allerdings mit zwei Formulierungen noch nicht zufrieden und wollte euch um Verbesserungsvorschläge bitten.
Beweis:
Sei $g [mm] \in [/mm] G$. Da $G$ endlich ist, aber es für $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] unendlich viele Möglichkeiten gibt, muss es [mm] $m,n\in \IN$ [/mm] (o.E. $n > m$) geben mit [mm] $g^{n} [/mm] = [mm] g^{m}$.
[/mm]
Mir ist nichts besseres eingefallen, als damit zu argumentieren dass [mm] \IN [/mm] unendlich viele Elemente hat; aber gibt es eine schönere Möglichkeit, zu begründen warum [mm] $g^{n} [/mm] = [mm] g^{m}$ [/mm] für zwei [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] gilt?
Zum Beispiel so: Da [mm] $\circ: G\times G\to [/mm] G$ wieder auf G abbildet, hat die Menge der Bilder von [mm] \circ [/mm] nur endlich viele Elemente; wegen [mm] $n,m\in \IN$ [/mm] können aber ... ???
Da G bezüglich [mm] \circ [/mm] eine Gruppe ist, gibt es zum [mm] $g\in [/mm] G$ ein Inverses [mm] $g^{-1}\in [/mm] G$ mit [mm] $g\circ g^{-1} [/mm] = [mm] e_{G}$.
[/mm]
Damit kann [mm] $g^{n} [/mm] = [mm] g^{m}$
[/mm]
äquivalent umgeformt werden zu:
[mm] $g^{n}\circ (g^{-1})^{m} [/mm] = [mm] g^{m}\circ (g^{-1})^{m}$
[/mm]
Nun ist [mm] $g^{m}\circ (g^{-1})^{m} [/mm] = [mm] e_{G}$ [/mm] wegen
[mm] $g^{m}\circ (g^{-1})^{m}$
[/mm]
$= [mm] \underbrace{g\circ g \circ ... \circ g\circ g}_{m-mal}\circ\underbrace{g^{-1}\circ g^{-1} \circ ... \circ g^{-1}\circ g^{-1}}_{m-mal}$
[/mm]
$= [mm] \underbrace{g\circ g \circ ... \circ g\circ g}_{(m-1)-mal}\circ(g\circ g^{-1})\circ\underbrace{g^{-1}\circ g^{-1} \circ ... \circ g^{-1}\circ g^{-1}}_{(m-1)-mal}$
[/mm]
$= [mm] \underbrace{g\circ g \circ ... \circ g\circ g}_{(m-1)-mal}\circ e_{G}\circ\underbrace{g^{-1}\circ g^{-1} \circ ... \circ g^{-1}\circ g^{-1}}_{(m-1)-mal}$
[/mm]
$= [mm] \underbrace{g\circ g \circ ... \circ g\circ g}_{(m-1)-mal}\circ\underbrace{g^{-1}\circ g^{-1} \circ ... \circ g^{-1}\circ g^{-1}}_{(m-1)-mal}$
[/mm]
Ist das okay, wenn ich das so aufschreibe?
usw. und wegen analoger Überlegung und $n > m$ entsprechend [mm] $g^{m}\circ(g^{-1})^{m} [/mm] = [mm] g^{n-m}$. [/mm] Damit ist aber
[mm] $g^{n-m} [/mm] = [mm] g^{n}\circ (g^{-1})^{m} [/mm] = [mm] g^{m}\circ (g^{-1})^{m} [/mm] = [mm] e_{G}$,
[/mm]
also ist für $s := n-m$, [mm] $s\in \IN$ [/mm] die Gleichung [mm] $g^{s} [/mm] = [mm] e_{G}$ [/mm] erfüllt. also existiert für jedes [mm] $g\in [/mm] G$ solch ein [mm] $s\in\IN$ [/mm] sodass [mm] $g^{s} [/mm] = [mm] e_{G}$.
[/mm]
Könnt ihr mir an den zwei Stellen helfen, es besser aufzuschreiben?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan
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> Sei [mm](G,\circ)[/mm] eine endliche Gruppe. Zeigen Sie, dass für
> jedes [mm]g\in G[/mm] ein [mm]n\in \IN[/mm] existiert mit [mm]g^{n} := g\circ g\circ ... \circ g = e_{G}[/mm]
Hallo,
im Vorfeld kannst Du mal, falls es in der VL noch nicht getan wurde, zeigen, daß für alle [mm] n\in\IN \qquad (g^n)^{-1}=(g^{-1})^m [/mm] gilt.
Und natürlich [mm] g^{m+n}=g^n\cirg g^m. [/mm] Aber auch das wurde sicher bereits getan.
> Beweis:
>
> Sei [mm]g \in G[/mm]. Da [mm]G[/mm] endlich ist, aber es für [mm]n,m \in \IN[/mm]
> unendlich viele Möglichkeiten gibt, muss es [mm]m,n\in \IN[/mm]
> (o.E. [mm]n > m[/mm]) geben mit [mm]g^{n} = g^{m}[/mm].
Ja, die Argumentation ist doch völlig richtig: da G endlich ist, können die Potenzen von g nicht alle verschieden sein.
Also gibt es n,m mit [mm] g^m=g^n.
[/mm]
So hast Du es ja auch geschrieben.
Ich würde jetzt so weitermachen. Sei oBdA m<n.dann gibt es ein k mit n=m+k.
Also ist [mm] g^m=g^{n+k}=g^m\circ g^k.
[/mm]
Nun mit dem Inversen von [mm] g^m [/mm] drauf und Du bist fertig.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
danke für deine Antwort!
> im Vorfeld kannst Du mal, falls es in der VL noch nicht
> getan wurde, zeigen, daß für alle [mm]n\in\IN \qquad (g^n)^{-1}=(g^{-1})^m[/mm]
> gilt.
> Und natürlich [mm]g^{m+n}=g^n\cirg g^m.[/mm] Aber auch das wurde
> sicher bereits getan.
Naja - gezeigt haben wir in dem Sinne nichts davon.
Aber was gibt es bei [mm] $g^{m+n} [/mm] = [mm] g^{m}\circ g^{n}$ [/mm] groß zu zeigen, außer dass es so ist  ? Ja, man könnte jetzt mit Induktion über n das ganze machen, aber das ist ja ein Umstand...
Interessanter finde ich [mm] $(g^n)^{-1} [/mm] = [mm] (g^{-1})^{n}$, [/mm] das geht dann mit Induktion, oder (?):
[mm] $(g^{n+1})^{-1} [/mm] = [mm] (g^{n}\circ g)^{-1} \overset{(a\circ b)^{-1} = b^{-1}\circ a^{-1}}{=} g^{-1}\circ (g^{n})^{-1} \overset{IV}{=} g^{-1}\circ (g^{-1})^{n} [/mm] = [mm] (g^{-1})^{n+1}$.
[/mm]
> > Beweis:
> >
> > Sei [mm]g \in G[/mm]. Da [mm]G[/mm] endlich ist, aber es für [mm]n,m \in \IN[/mm]
> > unendlich viele Möglichkeiten gibt, muss es [mm]m,n\in \IN[/mm]
> > (o.E. [mm]n > m[/mm]) geben mit [mm]g^{n} = g^{m}[/mm].
>
> Ja, die Argumentation ist doch völlig richtig: da G
> endlich ist, können die Potenzen von g nicht alle
> verschieden sein.
> Also gibt es n,m mit [mm]g^m=g^n.[/mm]
>
> So hast Du es ja auch geschrieben.
Okay, dann lasse ich es so. Danke dafür
> Ich würde jetzt so weitermachen. Sei oBdA m<n.dann gibt es
> ein k mit n=m+k.
>
> Also ist [mm]g^m=g^{n+k}=g^m\circ g^k.[/mm]
>
> Nun mit dem Inversen von [mm]g^m[/mm] drauf und Du bist fertig.
Aber wozu habe ich dann eigentlich die Gleichung [mm] $(g^n)^{-1} [/mm] = [mm] (g^{-1})^{n}$ [/mm] oben bewiesen? Wenn ich jetzt mit dem Inversen von [mm] (g^{n})^{-1} [/mm] "multipliziere" [mm] (\circ [/mm] -e) erhalte ich doch eh aus
[mm] $g^{n}=g^{m+k}=g^m\circ g^k \overset{g^{n} = g^{m}}{=} g^{n}\circ g^{k}$
[/mm]
[mm] $\gdw (g^{n})^{-1}\circ g^{n} [/mm] = [mm] (g^{n})^{-1}\circ g^{n}\circ g^{k}$
[/mm]
[mm] $\gdw e_{G} [/mm] = [mm] e_{G}\circ g^{k}$
[/mm]
nach der Definitions des Inversen, oder?
Grüße,
Stefan
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> Interessanter finde ich [mm](g^n)^{-1} = (g^{-1})^{n}[/mm], das geht
> dann mit Induktion, oder (?):
Hallo,
ja.
> Aber wozu habe ich dann eigentlich die Gleichung [mm](g^n)^{-1} = (g^{-1})^{n}[/mm]
> oben bewiesen?
Damit Du was fürs Leben hast.
Hast recht, für die Durchführung des Planes braucht man das überhaupt nicht, da reicht's, daß es ein Inverses gibt.
Gruß v. Angela
P.S.: Und wo sind nun die Permutationen, die Du in der Überschrift versprichst?
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Hallo Angela,
> > Aber wozu habe ich dann eigentlich die Gleichung [mm](g^n)^{-1} = (g^{-1})^{n}[/mm]
> > oben bewiesen?
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> Damit Du was fürs Leben hast.
Dann danke ich für diese Lebensweisheit
> P.S.: Und wo sind nun die Permutationen, die Du in der
> Überschrift versprichst?
Mmh... Hast recht, da hab ich mich "verdacht". Ich habe mich bloß an einem Beweis orientiert, den wir in dieser Richtung mit Permutationen hatten. Ich ändere mal die Überschrift.
Danke und Grüße,
Stefan
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