Beweise zu Abb u Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:M\to [/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie für alle Teilmengen
[mm] A,B\subset [/mm] M
[mm] C,D\subset [/mm] N
a) [mm] f(A)\cap f(B)\supset f(A\cap [/mm] B)
b) [mm] f(A)\cup [/mm] f(B)= [mm] f(A\cup [/mm] B)
c) [mm] f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)= f^{-1}(C\cup [/mm] D)
d) [mm] f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cap [/mm] D) |
a$)$ Dies stimmt nicht. Gegenbeispiel:
Sei [mm] $A=B=\emptyset$.
[/mm]
Dann erhalten wir:
$f( [mm] \emptyset )\cap [/mm] f ( [mm] \emptyset )=\emptyset\cap\emptyset=\emptyset\not \supset \emptyset=f( \emptyset)=f(\emptyset\cap\emptyset)$
[/mm]
Mir ist klar, dass vielleicht [mm] $\supseteq$ [/mm] gemeint war.
Zu diesem mit dem [mm] $\supseteq$ [/mm] und den anderen fehlen mir die Grundlagen.
Was genau muss hier angewandt werden? (Link reicht)
Mal mein Versuch zur b):
[mm] y\in f(A)\cup [/mm] f(B)
[mm] \gdw y\in [/mm] f(A) [mm] \vee y\in [/mm] f(B)
[mm] \gdw (\exists x\in A)\vee(\exists x\in [/mm] B):f(x)=y
(???)
[mm] y\in f(A\cup [/mm] B)
würde das reichen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Mo 31.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:M\to[/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie für alle
> Teilmengen
> [mm]A,B\subset[/mm] M
> [mm]C,D\subset[/mm] N
>
> a) [mm]f(A)\cap f(B)\supset f(A\cap[/mm] B)
>
> b) [mm]f(A)\cup[/mm] f(B)= [mm]f(A\cup[/mm] B)
>
> c) [mm]f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)= f^{-1}(C\cup[/mm] D)
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> d) [mm]f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cap[/mm] D)
>
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> a[mm])[/mm] Dies stimmt nicht. Gegenbeispiel:
> Sei [mm]A=B=\emptyset[/mm].
> Dann erhalten wir:
> [mm]f( \emptyset )\cap f ( \emptyset )=\emptyset\cap\emptyset=\emptyset\not \supset \emptyset=f( \emptyset)=f(\emptyset\cap\emptyset)[/mm]
>
> Mir ist klar, dass vielleicht [mm]\supseteq[/mm] gemeint war.
Du kannst davon ausgehen, dass [mm]\supseteq[/mm] gemeint war.
Dann geht der Beweis so:
Sei $y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)$. Daher gibt es ein $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B)$ mit y=f(x).
Da x [mm] \in [/mm] A, haben wir y [mm] \in [/mm] f(A). Da x [mm] \in [/mm] B, haben wir auch y [mm] \in [/mm] f(B).
Fazit: x [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B).
>
> Zu diesem mit dem [mm]\supseteq[/mm] und den anderen fehlen mir die
> Grundlagen.
>
> Was genau muss hier angewandt werden? (Link reicht)
>
> Mal mein Versuch zur b):
>
> [mm]y\in f(A)\cup[/mm] f(B)
> [mm]\gdw y\in[/mm] f(A) [mm]\vee y\in[/mm] f(B)
> [mm]\gdw (\exists x\in A)\vee(\exists x\in[/mm] B):f(x)=y
Nein, so stimmt das nicht. Richtig:
[mm]\gdw (\exists x\in A: f(x)=y) \vee (\exists z\in[/mm] B:f(z)=y)
Warum haben wir nun [mm] \gdw y\in f(A\cup[/mm] B)
>
> (???)
>
> [mm]y\in f(A\cup[/mm] B)
>
> würde das reichen?
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Zu der a)
Müsste man nicht auch noch zeigen, dass wirklich [mm] \supseteq [/mm] gilt, und nicht etwa "="?
Anders ausgedrückt: müsste man nicht noch zeigen, dass die linke Seite auch größer sein kann als die rechte.
Zur b)
also im Grunde genommen ist doch
$ [mm] \gdw (\exists x\in [/mm] A: f(x)=y) [mm] \vee (\exists z\in [/mm] $ B:f(z)=y)
und [mm] y\in f(A\cup [/mm] B)
das selbe oder nich?
[mm] y\in f(A\cup [/mm] B)
= es gibt Elemente aus A oder B (oder aus beidem), die auf y abgebildet werden durch f.
=(es gibt Elemente aus A, die auf y abgebildet werden) oder (es gibt Elemente aus B, die auf y abgebildet werden)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 31.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sinnlos123!
> Zu der a)
>
> Müsste man nicht auch noch zeigen, dass wirklich [mm]\supseteq[/mm]
> gilt, und nicht etwa "="?
>
> Anders ausgedrückt: müsste man nicht noch zeigen, dass
> die linke Seite auch größer sein kann als die rechte.
Laut der von dir geposteten Aufgabenstellung ist das nicht gefragt.
Als Übung schadet es natürlich nicht, wenn du dir das an einem Beispiel überlegst.
> Zur b)
>
> also im Grunde genommen ist doch
> [mm]\gdw (\exists x\in A: f(x)=y) \vee (\exists z\in[/mm] B:f(z)=y)
> und [mm]y\in f(A\cup[/mm] B)
>
> das selbe oder nich?
>
> [mm]y\in f(A\cup[/mm] B)
> = es gibt Elemente aus A oder B (oder aus beidem), die auf
> y abgebildet werden durch f.
> =(es gibt Elemente aus A, die auf y abgebildet werden) oder
> (es gibt Elemente aus B, die auf y abgebildet werden)
Füge zumindest noch den Zwischenschritt ein:
[mm] $y\in f(A\cup B)\iff \exists x\in A\cup B\colon [/mm] f(x)=y$.
Du hast eine sehr gute Intuition. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Was du schon an den einfachen Beispielen noch lernen solltest, ist formales Argumentieren, wie du es später bei komplexeren Beweisen gar nicht mehr vermeiden kannst.
Im Beispiel: Wie begründest du
[mm] $\exists x\in A\cup B\colon f(x)=y\iff (\exists x\in A\colon f(x)=y)\vee(\exists x\in B\colon [/mm] f(x)=y)$
formal ohne Appell an die Intuition des Lesers?
Ich würde Hin- und Rückrichtung getrennt überlegen.
Dann ist es nur noch ein kleiner Schritt, gleich den ganzen Beweis der Äquivalenz [mm] $y\in f(A)\cup [/mm] f(B) [mm] \iff y\in f(A\cup [/mm] B)$ in getrennte Beweise der beiden Richtungen aufzuspalten:
Zum Nachweis von [mm] $f(A)\cup f(B)\subseteq f(A\cup [/mm] B)$ sei [mm] $y\in f(A)\cup [/mm] f(B)$.
Es gilt also [mm] $y\in [/mm] f(A)$ oder [mm] $y\in [/mm] f(B)$.
Fallunterscheidung:
1. Fall: [mm] $y\in [/mm] f(A)$.
Dann existiert ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit $f(x)=y$. Insbesondere [mm] $x\in A\cup [/mm] B$ und daher [mm] $y\in f(A\cup [/mm] B)$.
2. Fall: [mm] $y\in [/mm] f(B)$.
Analog zum 1. Fall zeigt man [mm] $y\in f(A\cup [/mm] B)$.
Also gilt in allen Fällen tatsächlich [mm] $y\in f(A\cup [/mm] B)$, was den Beweis von [mm] $f(A)\cup f(B)\subseteq f(A\cup [/mm] B)$ abschließt.
Zum Nachweis von [mm] $f(A)\cup f(B)\supseteq f(A\cup [/mm] B)$ sei [mm] $y\in f(A\cup [/mm] B)$.
Dann existiert ein [mm] $x\in A\cup [/mm] B$ mit $f(x)=y$. Wegen [mm] $x\in A\cup [/mm] B$ gilt [mm] $x\in [/mm] A$ oder [mm] $x\in [/mm] B$. Im Falle [mm] $x\in [/mm] A$ folgt [mm] $y\in [/mm] f(A)$, im Falle [mm] $x\in [/mm] B$ folgt [mm] $y\in [/mm] f(B)$. In beiden Fällen also [mm] $y\in f(A)\cup [/mm] f(B)$.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias!
Danke, dass du dir die Zeit genommen hast mir das zu erklären, dass es nicht darauf ankommt es für mich zu "belegen", sondern für jeden verständlich zu beweisen.
Ich versuche mal die c)
Zu zeigen: [mm] $f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)= f^{-1}(C\cup [/mm] D) $
Sei [mm] x\in f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in f^{-1}(C)\vee x\in f^{-1}(D)
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\exists c\in C:f^{-1}(c)=x)\vee(\exists d\in D:f^{-1}(d)=x)
[/mm]
Hier weiß ich nicht weiter, jedoch:
Sei [mm] x\in f^{-1}(C\cup [/mm] D)
[mm] \Rightarrow \exists n\in C\cup D:f^{-1}=x [/mm] (n, weil die Zielmenge N ist)
[mm] \Rightarrow (\exists c\in C:f^{-1}(c)=x)\vee(\exists d\in D:f^{-1}(d)=x)
[/mm]
Also egal ob x links drin ist oder rechts, es kommen die selben Folgerungen heraus. Ich krieg das nur nicht wieder umgeformt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:11 Di 01.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Danke, dass du dir die Zeit genommen hast mir das zu
> erklären, dass es nicht darauf ankommt es für mich zu
> "belegen", sondern für jeden verständlich zu beweisen.
Meine Meinung ist: Beide Fähigkeiten haben ihre Bedeutung und sind wichtig.
Eine Anekdote aus meiner Schulzeit:
Als Gleichungen eingeführt wurden, habe ich mich gefragt, wozu dieses Konzept gut sein soll; schließlich war mir bei den zunächst einfachen Aufgaben, die mithilfe von Gleichungen gelöst werden sollten, intuitiv sowieso klar, was zu rechnen war, um auf das richtige Ergebnis zu kommen.
Inzwischen weiß ich: Gleichungen können nicht nur helfen, anderen den Lösungsweg transparent zu machen, sondern sie helfen auch mir selbst bei der Lösung komplexerer Probleme, die ich nicht mehr intuitiv ohne Gleichungen bewältigen könnte.
An der Uni ist es ähnlich: Das formale Beweisen hilft zum einen bei der Kommunikation des eigenen Verständnisses, zum anderen aber ermöglicht es erst, komplexere Probleme selbst zu lösen.
Je weiter du im Studium fortschreiten wirst, desto weniger wirst du Details begründen müssen (solange niemand explizit danach fragt). Du kannst dann gröber argumentieren und annehmen, dass der Leser in der Lage ist, sich Details intuitiv oder durch eigene formale Argumente zu erschließen.
Die Methoden zur Begründung von Details sind aber letztlich die gleichen, die du auch für deine gröberen Argumentationen benötigen wirst.
> Ich versuche mal die c)
>
> Zu zeigen: [mm]f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)= f^{-1}(C\cup D)[/mm]
>
> Sei [mm]x\in f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in f^{-1}(C)\vee x\in f^{-1}(D)[/mm]
Ja.
> [mm]\Rightarrow (\exists c\in C:f^{-1}(c)=x)\vee(\exists d\in D:f^{-1}(d)=x)[/mm]
Nein.
Wenn f nicht gerade bijektiv ist, ist [mm] $f^{-1}(c)$ [/mm] für [mm] $c\in [/mm] C$ gar nicht definiert.
Schaue dir nochmal die Definition des Urbildes [mm] $f^{-1}(C)$ [/mm] an.
Diesen Fehler ignoriere ich im Folgenden, um dir zu zeigen, wie du folgerichtig hättest weiterkommen können. Ich übernehme also bewusst deinen Fehler.
Hier hätte eine Fallunterscheidung weitergeholfen:
1. Fall: [mm] $(\exists c\in C:f^{-1}(c)=x)$.
[/mm]
Wir können also ein [mm] $c_0\in [/mm] C$ mit [mm] $f^{-1}(c_0)=x$ [/mm] wählen.
Dann gilt insbesondere [mm] $c_0\in C\cup [/mm] D$.
Insbesondere existiert also ein [mm] $n\in C\cup [/mm] D$ mit [mm] $f^{-1}(n)=x$ [/mm] (nämlich z.B. [mm] $n=c_0$).
[/mm]
Also gilt [mm] $x\in f^{-1}(C\cup [/mm] D)$.
2. Fall: [mm] $(\exists d\in D:f^{-1}(d)=x)$
[/mm]
Dann lässt sich analog zum 1. Fall [mm] $x\in f^{-1}(C\cup [/mm] D)$ zeigen.
Also gilt in beiden Fällen wie gewünscht [mm] $x\in f^{-1}(C\cup [/mm] D)$.
> Hier weiß ich nicht weiter, jedoch:
>
> Sei [mm]x\in f^{-1}(C\cup[/mm] D)
> [mm]\Rightarrow \exists n\in C\cup D:f^{-1}=x[/mm] (n, weil die
> Zielmenge N ist)
> [mm]\Rightarrow (\exists c\in C:f^{-1}(c)=x)\vee(\exists d\in D:f^{-1}(d)=x)[/mm]
Diesen Schritt würde ich näher begründen: Wir wählen ein [mm] $n\in C\cup [/mm] D$ mit [mm] $f^{-1}(n)=x$. [/mm] Nun Fallunterscheidung nach [mm] $n\in [/mm] C$ bzw. [mm] $n\in [/mm] D$.
Sicherheitshalber nochmal: Die Schreibweisen [mm] $f^{-1}(c)$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(n)$ [/mm] sind völliger Blödsinn, wenn f nicht gerade bijektiv ist. Ich habe sie bewusst übernommen, um zu zeigen, wie man folgerichtig weitergekommen wäre.
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Hallo Tobias!
Auf ein neues:
c$)$ Zu zeigen: [mm] $f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cup [/mm] D)$
Sei [mm] $x\in f^{-1}(C\cup [/mm] D)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \cup [/mm] D
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] C [mm] \vee [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] D
[mm] \Rightarrow x\in f^{-1}(C) \vee [/mm] x [mm] \in f^{-1}(D) [/mm]
[mm] \Rightarrow x\in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$
[/mm]
Rückrichtung analog.
Was ich jetzt aber nicht verstehe ist, warum [mm] c\in [/mm] C etwas anderes ist als [mm] f(x)\in [/mm] C (wie in meinem vorherigen Versuch)
Außerdem ist mir völlig unklar, was dies überhaupt "praktisch" bedeutet.
[mm] f^{-1}(C) [/mm] heißt(für mich): Alle x, die [mm] f(x)=c\in [/mm] C erfüllen
Ich verstehe zwar den Nutzen des Lemmas, man kann damit das [mm] \cup [/mm] verteilen, bzw. zusammenfassen, aber nicht die Bedeutung.
d$)$ Zu zeigen: [mm] $f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cap [/mm] D)$
Sei $\ x [mm] \in f^{-1}(S \cap [/mm] T)$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f(x) [mm] \in S\cap [/mm] T$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f(x) [mm] \in [/mm] S $ [mm] $\wedge$ [/mm] $f(x) [mm] \in [/mm] T $
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T) [/mm] $
Auch hier Rückrichtung analog.
Auch hier verstehe ich die Bedeutung nicht.
Gibt es hierzu ein anschauliches Beispiel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Di 01.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
> c[mm])[/mm] Zu zeigen: [mm]f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cup D)[/mm]
> Sei
> [mm]$x\in f^{-1}(C\cup[/mm] D)
> [mm] \Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] C [mm]\cup[/mm] D
> [mm] \Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] C [mm]\vee[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] D
> [mm] \Rightarrow x\in f^{-1}(C) \vee[/mm] x [mm]\in f^{-1}(D)[/mm]
> [mm] \Rightarrow x\in f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D)$[/mm]
> Rückrichtung
> analog.
> Was ich jetzt aber nicht verstehe ist, warum [mm]c\in[/mm] C etwas
> anderes ist als [mm]f(x)\in[/mm] C (wie in meinem vorherigen
> Versuch)
Meinst du das folgerndermaßen?
Die Bedingung [mm] $f(x)\in [/mm] C$ ist äquivalent zu [mm] $\exists c\in C\colon [/mm] f(x)=c$.
(Nachweis der Hin-Richtung: Wähle $c:=f(x)$.
Nachweis der Rück-Richtung: Wir wählen ein [mm] $c\in [/mm] C$ mit $f(x)=c$. Dann folgt [mm] $f(x)=c\in [/mm] C$.)
Das Problem deiner vorherigen Lösung war, dass du gegeben [mm] $c\in [/mm] C$ den Ausdruck [mm] $f^{-1}(c)$ [/mm] verwendet hast.
Wenn f nicht gerade bijektiv ist und damit eine Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}\colon N\to [/mm] M$ besitzt, macht dieser Ausdruck [mm] $f^{-1}(c)$ [/mm] keinen Sinn. Was sollte er bedeuten?
> Außerdem ist mir völlig unklar, was dies überhaupt
> "praktisch" bedeutet.
> [mm]f^{-1}(C)[/mm] heißt(für mich): Alle x, die [mm]f(x)=c\in[/mm] C
> erfüllen
Ja, [mm] $f^{-1}(C)$ [/mm] ist definiert durch [mm] $f^{-1}(C)=\{x\in M\;|\;f(x)\in C\}$.
[/mm]
Beispiel: Sei [mm] $f\colon\{a,b,c,d\}\to\{0,1,2\}$ [/mm] gegeben durch $f(a)=f(b)=0$ und $f(c)=f(d)=1$. Dann wäre z.B. [mm] $f^{-1}(\{1,2\})=\{c,d\}$.
[/mm]
Mal ein unpräzises Beispiel außerhalb der mathematischen Welt:
Sei $M$ die Menge der Menschen und für jeden Menschen [mm] $m\in [/mm] M$ bezeichne $v(m)$ sein Vermögen in Euro (ich nehme hier unrealistischerweise an, jeder Mensch habe ein eindeutig bestimmtes positives oder negatives Vermögen). Wir erhalten so eine Abbildung [mm] $v\colon M\to \IR$.
[/mm]
Dann ist [mm] $v^{-1}(\{y\in\IR\;|\;y\ge 1.000.000\})$ [/mm] genau die Menge der Euro-Millionäre.
> Ich verstehe zwar den Nutzen des Lemmas, man kann damit das
> [mm]\cup[/mm] verteilen, bzw. zusammenfassen, aber nicht die
> Bedeutung.
Den Nutzen hast du korrekt erfasst.
Was meinst du damit, dass du die Bedeutung nicht verstehst? Geht es um die Bedeutung von Urbildern der Art [mm] $f^{-1}(C)$?
[/mm]
> d[mm])[/mm] Zu zeigen: [mm]f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)=f^{-1}(C\cap D)[/mm]
> Sei
> [mm]\ x \in f^{-1}(S \cap T)[/mm]
Ich nehme mal an, $S=C$ und $T=D$. 
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f(x) \in S\cap T[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f(x) \in S[/mm] [mm]\wedge[/mm] [mm]f(x) \in T[/mm]
[mm] $\Rightarrow f(x)\in S\cap [/mm] T$
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]x \in f^{-1}(S)\cap f^{-1}(T) [/mm]
> Auch hier Rückrichtung analog.
> Auch hier verstehe ich die Bedeutung nicht.
> Gibt es hierzu ein anschauliches Beispiel?
Sei z.B. [mm] $\sin\colon\IR\to\IR$ [/mm] die aus der Schule bekannte Sinusfunktion (im Bogenmaß).
Sei [mm] $P:=\{y\in\IR\;|\;y\ge 0\}$ [/mm] und [mm] $N:=\{y\in\IR\;|\;y\le 0\}$.
[/mm]
Angenommen du möchtest [mm] $\sin^{-1}(P)\cap\sin^{-1}(N)$ [/mm] bestimmen.
Würde man zunächst [mm] $\sin^{-1}(P)$ [/mm] und [mm] $\sin^{-1}(N)$ [/mm] bestimmen, so erhielte man jeweils eine Vereinigung abzählbar unendlich vieler Intervalle.
Ungleich einfacher ist jedoch [mm] $\sin^{-1}(P\cap N)=\sin^{-1}(\{0\})$ [/mm] zu bestimmen: Es ist die Menge der Nullstellen der Sinusfunktion, also die Menge [mm] $\{k*\pi\;|\;k\in\IZ\}$.
[/mm]
Nach Aufgabenteil d) gilt somit [mm] $\sin^{-1}(P)\cap\sin^{-1}(N)=\{k*\pi\;|\;k\in\IZ\}$.
[/mm]
Ein Beispiel aus der Stochastik:
Sei [mm] $\Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] die Menge der Paare der Form $(x,y)$ mit [mm] $x,y\in\{1,2,3,4,5,6\}$. $\Omega$ [/mm] entspricht gerade der Menge der möglichen Würfelergebnisse beim Werfen von zwei Würfeln: $(3,5)$ bedeutet z.B. der erste Würfel zeigt eine 3, der zweite Würfel eine 5.
Sei [mm] $s\colon\Omega\to\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\},\quad [/mm] s((x,y)):=x+y$ die (wohldefinierte) Abbildung, die jedem "Würfelergebnis" die zugehörige Augensumme zuordnet, z.B. $s((3,5))=3+5=8$.
Sei nun $G$ die Menge der geraden potentiellen Augensummen, also [mm] $G:=\{2,4,6,8,10,12\}$ [/mm] und [mm] $I:=\{10,11,12\}$ [/mm] die Menge der potentiellen Augensummen [mm] $\ge [/mm] 10$.
Dann entspricht [mm] $s^{-1}(G)$ [/mm] der Menge aller "Würfelergebnisse" mit gerader Augensumme und [mm] $s^{-1}(I)$ [/mm] der Menge aller "Würfelergebnisse" mit Augensumme [mm] $\ge [/mm] 10$.
Die Menge aller "Würfelergebnisse", die sowohl eine gerade Augensumme, als auch eine Augensumme [mm] $\ge10$ [/mm] haben, lautet
[mm] $s^{-1}(G)\cap s^{-1}(I)=s^{-1}(G\cap I)=s^{-1}(\{10,12\})=\{(5,5),(4,6),(6,4),(6,6)\}$.
[/mm]
Sollte eines der Beispiele zu aufwändig zu verstehen sein, kannst du das entsprechende Beispiel übergehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Di 01.11.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Hi Tobias,
die Beispiele Menschen/Vermögen und das mit dem sinus haben's dann verdeutlicht.
Ich hatte einfach nur das anologe Verständnisproblem zu:
a(b+c)=ab+ac
Oder: es ist egal ob ich 5 stunden 1 Lampe anhabe, und danach den Herd für 5 stunden benutze. Oder ob ich beides auf einmal benutze. Ich bezahle den selben Strom.
Bei den Urbildern fehlte mir da einfach das Vorstellungsvermögen.
Danke dir!
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