Beweise zu Teilmengen des R^n < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Di 26.02.2008 | | Autor: | Teddy98 |
| Aufgabe | Sind [mm] O_{1} [/mm] und [mm] O_{2} [/mm] offene Teilmengen des [mm] \IR^n, [/mm] so ist auch die Vereinigung von [mm] O_{1} [/mm] und [mm] O_{2} [/mm] eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und offen.
Sind [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] abgeschlossene Teilmengen des [mm] \IR^n, [/mm] so ist auch auch der Schnitt von [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und abgeschlossen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag,
irgendwie will mir dazu keine gute Idee einfallen. Intuitiv sind die Sachverhaltr klar, aber beweisen kann ich sie nicht.
Einige Ideen von mir waren z.B:
- wenn [mm] O_{1} [/mm] und [mm] O_{2} [/mm] offen sind, dann muss ja ihr Komplement abgeschlossen sein (oder?), dann könnte man ja zeigen, dass das Komplement der Verieinigungsmenge auch abgeschlossen ist
(die Idee scheitert leider auch, da ich nicht weiß wie ich das mit der Vereinigung/Schnitt zeige)
- vielleicht kann man irgendwelche Kugeln wählen, die in beiden Mengen enthalten sind und dann zeigen, dass sie auch in der Vereinigung/Schnitt enhalten sind
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.
EDIT: So durch intensive Suche habe ich etwas gefunden
[mm] O_{1},O_{2} [/mm] sind abgeschlossen [mm] \Rightarrow O_{1}^c, O_{2}^c [/mm] sind offen [mm] \Rightarrow O_{1}^c \cap O_{2}^c [/mm] = [mm] (O_{1} \cup O_{2})^c [/mm] ist offen [mm] \Rightarrow O_{1} \cup O_{2} [/mm] ist abgeschlossen
Kann ich da so machen für den zweiten Teil dann dementsprechend analog
Gruß, Matze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Di 26.02.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo Matze,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Kannst Du vielleicht noch kurz mitteilen, wie ihr "offen" und "abgeschlossen" definiert habt (über Folgen, Häufungspunkte, Umgebungen,..)?
Es gibt da eine ganze Reihe äquivalenter Formulierungen und man tut sich mit der Antwort leicher, wenn man schon mal weiss in welche Richtung man losmarschieren muss.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Di 26.02.2008 | | Autor: | Teddy98 |
Hi,
also wir haben bis jetzt nur gelernt, dass eine Menge offen ist, wenn sie keinen ihrer Randpunkte enthält und abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält. Häufungspunkte kenn ich in dem Bezug noch nicht.
Folgen hatten wir gerade heute. Meinst du mit Umgebungen diese Kugeln von denen immer gesprochen wird mit dem genügend großen/kleinen Radius [mm] \varepsilon [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 26.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Matze!
> EDIT: So durch intensive Suche habe ich etwas gefunden
>
> [mm]O_{1},O_{2}[/mm] sind abgeschlossen [mm]\Rightarrow O_{1}^c, O_{2}^c[/mm]
> sind offen [mm]\Rightarrow O_{1}^c \cap O_{2}^c[/mm] = [mm](O_{1} \cup O_{2})^c[/mm]
> ist offen [mm]\Rightarrow O_{1} \cup O_{2}[/mm] ist abgeschlossen
>
> Kann ich da so machen für den zweiten Teil dann
> dementsprechend analog
Das kannst du so machen für den zweiten Teil, wenn du den ersten Teil hast, oder umgekehrt. Einen der beiden Teile musst du anders beweisen.
Du schreibst, ihr habt offene Mengen als solche Mengen definiert, die keinen ihrer Randpunkte enthalten. Seien also [mm]O_{1},O_{2}[/mm] offen. Um zu zeigen, dass [mm] $O_{1} \cup O_{2}$ [/mm] offen ist, solltest du zeigen, dass jeder Randpunkt von [mm] $O_{1} \cup O_{2}$ [/mm] ein Randpunkt entweder von [mm] $O_{1}$ [/mm] oder von [mm] $O_{2}$ [/mm] ist.
Analog kannst du dann den zweiten Teil beweisen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 26.02.2008 | | Autor: | Teddy98 |
Hi Rainer,
danke für deine Antwort, aber bei dem:
"Seien also $ [mm] O_{1},O_{2} [/mm] $ offen. Um zu zeigen, dass $ [mm] O_{1} \cup O_{2} [/mm] $ offen ist, solltest du zeigen, dass jeder Randpunkt von $ [mm] O_{1} \cup O_{2} [/mm] $ ein Randpunkt entweder von $ [mm] O_{1} [/mm] $ oder von $ [mm] O_{2} [/mm] $ ist."
hakt es.
Ich muss gestehen, dass ich noch nie einen Beweis gemacht habe und es eigentlich auch nicht machen muss, da ich Wirtschaftsingenieur studiere und die Mathematik lediglich anwenden muss und nicht beweisen.
Also bei ähnlichen Aufgaben stand auch nicht mehr als Beweis. Generell ist mir aufgefallen, dass die Beweise eher kurze Begründungen waren und keine ausufernden Beweise.
Daher...fehlt bei meiner Begründung nur etwas auf "Mathematiker-Sicht" oder fehlt da tatsächlich etwas elementares?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Rainer,
>
> danke für deine Antwort, aber bei dem:
>
> "Seien also [mm]O_{1},O_{2}[/mm] offen. Um zu zeigen, dass [mm]O_{1} \cup O_{2}[/mm]
> offen ist, solltest du zeigen, dass jeder Randpunkt von
> [mm]O_{1} \cup O_{2}[/mm] ein Randpunkt entweder von [mm]O_{1}[/mm] oder von
> [mm]O_{2}[/mm] ist."
>
> hakt es.
da hat sich auch ein kleiner Formulierungsfehler eingeschlichen. Wenn man mit [mm] $\partial [/mm] O$ den Rand von $O$ bezeichnet, ist hier die Aufgabe, zu zeigen:
[mm] $(\*)$ [/mm] $ [mm] \partial(O_1 \cup O_2) \subset (\partial O_1 \cup \partial O_2) [/mm] $
Also zu zeigen:
Ein Randpunkt von [mm] $O_1 \cup O_2$ [/mm] ist ein Randpunkt wenigstens einer der Mengen [mm] $O_1$ [/mm] oder [mm] $O_2$ [/mm] (es kann durchaus auch sein, dass er ein Randpunkt beider Mengen ist).
Jetzt ist die Frage, wie ihr denn überhaupt den Begriff "Randpunkt" definiert habt, damit man diese Aussage vernünftig beweisen kann...
Wenn Du [mm] $(\*)$ [/mm] dann bewiesen hast, dann die "Beweisskizze":
Zu zeigen ist ja, dass ein jeder Randpunkt von [mm] $O_1 \cup O_2$ [/mm] nicht zu [mm] $O_1 \cup O_2$ [/mm] gehören kann.
Sei also $x [mm] \in \partial(O_1 \cup O_2)$. [/mm] Wegen [mm] $(\*)$ [/mm] gilt dann $x [mm] \in \partial O_1$ [/mm] oder $x [mm] \in \partial O_2$.
[/mm]
1. Fall: Sei $x [mm] \in \partial O_1$:
[/mm]
Dann gilt jedenfalls $x [mm] \notin O_1$. [/mm] Wäre also doch $x [mm] \in O_1 \cup O_2$, [/mm] so müsste folglich gelten, dass $x [mm] \in O_2 \backslash O_1$. [/mm] Und nun solltest Du versuchen, zu begründen, dass dann aber doch $x [mm] \notin \partial (O_1 \cup O_2)$ [/mm] gelten muss (ggf. durch Fallunterscheidungen; vll. habt ihr doch schon Charakterisierungen der "Offenheit" mit offenen "Epsilon"-Kugeln mit genügend kleinem Radius um einen Punkt bewiesen? Damit ginge das ziemlich schnell...)...
2. Fall: Sei $x [mm] \in \partial O_2$: [/mm] Analog zum ersten Fall mit Rollentausch von [mm] $O_1$ [/mm] und [mm] $O_2$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:28 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Matze!
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> > EDIT: So durch intensive Suche habe ich etwas gefunden
> >
> > [mm]O_{1},O_{2}[/mm] sind abgeschlossen [mm]\Rightarrow O_{1}^c, O_{2}^c[/mm]
> > sind offen [mm]\Rightarrow O_{1}^c \cap O_{2}^c[/mm] = [mm](O_{1} \cup O_{2})^c[/mm]
> > ist offen [mm]\Rightarrow O_{1} \cup O_{2}[/mm] ist abgeschlossen
> >
> > Kann ich da so machen für den zweiten Teil dann
> > dementsprechend analog
>
> Das kannst du so machen für den zweiten Teil, wenn du den
> ersten Teil hast, oder umgekehrt. Einen der beiden Teile
> musst du anders beweisen.
>
> Du schreibst, ihr habt offene Mengen als solche Mengen
> definiert, die keinen ihrer Randpunkte enthalten. Seien
> also [mm]O_{1},O_{2}[/mm] offen. Um zu zeigen, dass [mm]O_{1} \cup O_{2}[/mm]
> offen ist, solltest du zeigen, dass jeder Randpunkt von
> [mm]O_{1} \cup O_{2}[/mm] ein Randpunkt entweder von [mm]O_{1}[/mm] oder von
> [mm]O_{2}[/mm] ist.
Lass' das Wort "entweder" an dieser Stelle bitte weg, denn wenn ich bspw. [mm] $O_1$ [/mm] als die (offene) Kreisscheibe mit Radius $1$ um den Punkt $(-1,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und [mm] $O_2$ [/mm] als die (offene) Kreisscheibe mit Radius $1$ um den Punkt $(1,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] betrachte, so ist der Punkt $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ein Randpunkt sowohl von [mm] $O_1 \cup O_2$, [/mm] aber er ist insbesondere ein Randpunkt von [mm] $O_1$ [/mm] sowie auch ein Randpunkt von [mm] $O_2$.
[/mm]
Bei der Formulierung "entweder von [mm] $O_1$ [/mm] oder [mm] $O_2$" [/mm] dürfte er aber dann aber nur ein Randpunkt von einer der Mengen [mm] $O_i$ [/mm] ($i=1,2$) sein.
Also:
Um zu zeigen, dass [mm] $O_1 \cup O_2$ [/mm] offen ist, hat man zu zeigen, dass ein jeder Randpunkt von [mm] $O_1 \cup O_2$ [/mm] nicht zu [mm] $O_1 \cup O_2$ [/mm] gehören kann.
Wenn man den Rand von $O$ mit [mm] $\partial [/mm] 0$ bezeichnet, sollte man hier zunächst begründen:
[mm] $\partial(O_1 \cup O_2) \subset (\partial O_1 \cup \partial O_2)$
[/mm]
und meine kleine Anmerkung oben soll nur darauf hinweisen, dass [mm] $\partial O_1 \cup \partial O_2$ [/mm] eine nicht notwendig disjunkte Vereinugung sein muss.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Di 26.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
wenn Du beachtest, dass der [mm] $\IR^n$ [/mm] mit der euklidischen Metrik versehen ein metrischer Raum ist, kannst Du Dich prinzipiell an Satz 9.7 im folgenden Skript orientieren:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
(Die Aussage in Satz 9.7.2 ist äquivalent dazu, dass der Schnitt zweier offener Mengen wieder offen ist. Insbesondere beinhaltet er aber diesen Fall, da 2 offene Mengen natürlich auch nur endlich viele offene Mengen sind.
Ebenso beinhaltet Satz 9.7.1 sogar noch mehr als das, was Du benötigst.)
Im Endeffekt:
Versuch' z.B. mal zu zeigen, dass die Definitionen von "abgeschlossen" und "offen" im obigen Skriptum äquivalent zu Euren sind (vll. steht das sogar auch irgendwo in Kapitel 8 und bzw. oder 9), und dann kannst Du den obigen Beweis benutzen.
(Der auch in die Richtung hinweist, wie man von metrischen Räumen zu topologischen Räumen kommen kann  .)
Gruß,
Marcel
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