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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für jedes n [mm] \in [/mm] N gilt: [mm] ((9^n)-1) [/mm] ist ohne Rest durch 8 Teilbar.
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Also erstens ist mir klar, dass es immer durch 8 teilbar ist. Das geht auch z.b. mit [mm] ((8^n)-1)ist [/mm] ohne Rest durch 7 teilbar und so weiter, ich weiss aber nicht wie ich das beweisen soll.
Ich habe einfach mal ein bisschen gerechnet und eine Gleichung aufgestellt:
[mm] \bruch{((9^n)-1)}{8}=(9^{n-1})+\bruch{((9^{n-1})-1)}{8}
[/mm]
Ich weiss jetzt aber nicht ob das irgendwas bringt, wie beweise ich dass die Behauptung stimmt?
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Hallo Marius6d,
> Beweisen Sie, dass für jedes n [mm]\in[/mm] N gilt: [mm]((9^n)-1)[/mm] ist
> ohne Rest durch 8 Teilbar.
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> Also erstens ist mir klar, dass es immer durch 8 teilbar
> ist. Das geht auch z.b. mit [mm]((8^n)-1)ist[/mm] ohne Rest durch 7
> teilbar und so weiter, ich weiss aber nicht wie ich das
> beweisen soll.
>
> Ich habe einfach mal ein bisschen gerechnet und eine
> Gleichung aufgestellt:
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> [mm]\bruch{((9^n)-1)}{8}=(9^{n-1})+\bruch{((9^{n-1})-1)}{8}[/mm]
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> Ich weiss jetzt aber nicht ob das irgendwas bringt, wie
> beweise ich dass die Behauptung stimmt?
Du hast 2 "nette" Möglichkeiten, zu beweisen, dass [mm] $8\mid \left(9^n-1\right)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt. [mm] ($a\mid [/mm] b$ heißt "a teilt b")
Zum einen per vollst. Induktion nach n.
Induktionsanfang für n=1 sollte klar sein, im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ mit Induktionsvoraussetzung [mm] $8\mid \left(9^n-1\right)$ [/mm] für ein bel., aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] folgere, dass dann auch [mm] $8\mid\left(9^{n+1}-1\right)$ [/mm] gelten muss.
Bendenke dazu, dass mit [mm] $a\mid [/mm] b$ auch gilt [mm] $a\mid c\cdot{}b$ [/mm] für [mm] $c\in\IZ$
[/mm]
Alternativ und schneller (auch eleganter) schreibe [mm] $9^n=(8+1)^n$ [/mm] und benutze den binomischen Lehrsatz ....
Was ist dann mit [mm] $9^n-1$ [/mm] ... ?
LG
schachuzipus
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