Beweisen einer Aussage + Rest < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Do 16.12.2004 | | Autor: | DaMazen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin,
folgendes Problem, leider habe ich nicht die spur eines beweises für diese aufgabe gefunden:
Aufgabe: Das Quadrat einer ungeraden Zahl lässt bei Division durch 8 den Rest 1
dachte mir (2n+1)²=8x+1
wobei x,n Element aus N sein müssen..
Doch leider komme ich da nicht zu einem zufriedenstellenden beweis...
sind zwar noch andere teilaufgaben danach, denke die schaffe ich aber alleine, wenn mir einer bei dieser helfen könnte.
thx gruß
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Hallo!
Ha, ich glaube, ich habe deine Aufgabe gelöst, obwohl ich mir nicht 100%ig sicher bin, ob das als Beweis reicht, aber eigentlich schon.
> dachte mir (2n+1)²=8x+1
Ich denke, das ist schon mal richtig!
Das formst du nun ein bisschen um:
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 4n^2 [/mm] +4n+1=8x+1
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 4n^2+4n=8x
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] n^2+n=2x
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
n(n+1)=2x
(Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet!?)
Nun musst du argumentieren:
Wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist (n+1) eine ungerade Zahl, wenn n ungerade ist, ist (n+1) gerade - du hast also auf jeden Fall das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl, und solch ein Produkt ergibt immer eine gerade Zahl (musst du das auch noch beweisen? ich schätze, das müsste über Induktion gehen...). Und 2x ist definitiv eine gerade Zahl, egal, ob x gerade oder ungerade ist.
Hilft dir das?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Do 16.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Bastiane,
> Hallo!
> Ha, ich glaube, ich habe deine Aufgabe gelöst, obwohl ich
> mir nicht 100%ig sicher bin, ob das als Beweis reicht, aber
> eigentlich schon.
>
> > dachte mir (2n+1)²=8x+1
>
> Ich denke, das ist schon mal richtig!
> Das formst du nun ein bisschen um:
> [mm]\gdw
[/mm]
> [mm]4n^2[/mm] +4n+1=8x+1
> [mm]\gdw
[/mm]
> [mm]4n^2+4n=8x
[/mm]
> [mm]\gdw
[/mm]
> [mm]n^2+n=2x
[/mm]
> [mm]\gdw
[/mm]
> n(n+1)=2x
Genau das ist der Weg . Und so schreibt man seine Lösung auf:
Sei $k [mm] \in \IN$ [/mm] eine ungerade Zahl. Dann existiert genau eine Darstellung der Form $k=2n+1$ mit einem $n [mm] \in \IN_{\,0}=\IN \cup \{0\}$. [/mm] Wir definieren [mm] $x:=\frac{n*(n+1)}{2}$. [/mm] Dann ist (weil entweder $n$ oder $n+1$ eine gerade Zahl ist und das Produkt zweier Zahlen aus [mm] $\IN_{\,0}$ [/mm] wieder eine Zahl aus [mm] $\IN_{\,0}$ [/mm] ist) damit $x [mm] \in \IN_{\,0}$ [/mm] und es gilt:
[m]x=\frac{n*(n+1)}{2}[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$n(n+1)=2x$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$n²+n=2x$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$4n²+4n=8x$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$4n²+4n+1=8x+1$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\underbrace{ \; 2n+1 \;}_{=k}\,)²=8x+1$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$k²=8x+1$ [mm] $(\star)$
[/mm]
(Wobei man für den Beweis jedes [mm] $\gdw$ [/mm] durch ein [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ersetzen könnte, da dies für den Beweis genügt.)
Da $k$ eine beliebige ungerade natürliche Zahl war, folgt aus [mm] $(\star)$ [/mm] die Behauptung (beachte: [m]x \in \IN_{\,0}[/m]).
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Do 16.12.2004 | | Autor: | DaMazen |
Das hört sich gut an! Dann werde ich jetzt mal die restlichen aufgaben alleine weiter versuchen! vielen dank
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