Beweisen einer Behauptung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Di 12.11.2013 | | Autor: | LMi |
| Aufgabe 1 | | ist k Element [mm] \IN [/mm] und sind v1,v2,v3....vk Element [mm] \IR [/mm] linear abhängige Vektoren, so sind für jeden Vektor xElement [mm] \IR [/mm] auch die Vektoren v1,v2,v3....vk, x Element [mm] \IR [/mm] ^n linear abhängig |
| Aufgabe 2 | | b) und sind v1,v2....vk Element [mm] \IR^n [/mm] linear unabhängige Vektoren so sind auch die Vektoren v1,v2...vk-1 linear unabhängig. |
So ich steh absolut vor einem Problem, beiweise habe ich mal gemacht, allerdings nicht so kompliziert. Weis überhaupt nicht wie ich anfangen soll.
Soll das bei a) bedeuten das wenn man einen Vektor mit x multiplizert das Ergebnis dann auch linear abhängig ist? Oder was soll das x nach dem vk bedeuten? Könnte ich dann einfach ein Vektor hinschreiben und davor x* und dann = 0 . Aber ein beweis wäre das ja nicht....
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ist k Element [mm]\IN[/mm] und sind v1,v2,v3....vk Element [mm]\IR[/mm]
> linear abhängige Vektoren, so sind für jeden Vektor
> xElement [mm]\IR[/mm] auch die Vektoren v1,v2,v3....vk, x Element
> [mm]\IR[/mm] ^n linear abhängig
die Aufgabe macht so schlichtweg keinen Sinn - das Einzige, was mir da
richtig zu sein scheint, ist, dass $k [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Tippe bitte mal die Aufgabenstellung
hier Wort für Wort ab, oder setze 'nen Link! (Übrigens betrachtet ihr sicher
hier stets [mm] $\IR^n$ [/mm] als ("üblichen") Vektorraum über [mm] $\mathbf{\IR}$?!)
[/mm]
> b) und sind v1,v2....vk Element [mm]\IR^n[/mm] linear unabhängige
> Vektoren so sind auch die Vektoren v1,v2...vk-1 linear
> unabhängig.
Hier meinst Du sicher:
Sind [mm] $v_1,...,v_k \in \IR^n$ [/mm] linear unabhängig, dann sind auch [mm] $v_1,...,v_{\red{\;k-1\;}}$ [/mm] linear unabhängig.
[mm] ($v_k-1$ [/mm] macht nämlich keinen Sinn!)
Das ist einfach:
Du weißt, dass für alle [mm] $\lambda_1,...,\lambda_k \in \IR$ [/mm] aus
[mm] $\sum_{\ell=1}^k \lambda_k v_k=\textbf{0}$ [/mm] (rechterhand ist [mm] $\textbf{0}=\vektor{0\\0\\.\\.\\.\\0} \in \IR^n$ [/mm] gemeint)
schon [mm] $\lambda_1=...=\lambda_k=0$ ($\in \IR$) [/mm] folgt. (Übrigens muss $k [mm] \le [/mm] n$ sein,
wenn [mm] $v_1,...,v_k$ [/mm] linear unabhängig sein sollen (wollen) - warum?)
Sind nun [mm] $\tilde{\lambda}_1,...,\tilde{\lambda}_{k-1} \in \IR,$ [/mm] so setze
[mm] $\lambda_\ell:=\tilde{\lambda}_\ell$ [/mm] für [mm] $\ell=0,...,k-1$ [/mm] und [mm] $\lambda_k:=0\,.$
[/mm]
Dann gilt
[mm] $\sum_{\ell=1}^{k-1} \tilde{\lambda}_\ell v_\ell=\sum_{\ell=1}^{k-1} \lambda_\ell v_\ell=\sum_{\ell=1}^k \lambda_\ell v_\ell=\textbf{0}\,.$
[/mm]
Was folgt dann wegen der Voraussetzung?
Gruß,
Marcel
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