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| Aufgabe | Es seien K ein Körper, A [mm] \in [/mm] K nxn , B [mm] \in [/mm] K nxm , C [mm] \in [/mm] K mxm , Ai [mm] \in [/mm] K ni x ni und
D = [mm] \pmat{ A & B \\ 0 & C }
[/mm]
Zeigen Sie : Es gilt det (A)*det(C) = det ( D) |
Hallo ,
Ich habe mich lange mit der Aufgabe beschäftigt und komme leider nicht mehr weiter. Mein Ansatz war erstmal die Determinante von D zu bestimmen. Da D eine 2×2 Matrix habe ich dies mit der Formel det(D) = AC - B*0 = A*C. Laut Aufgabenstellung wäre dies eine n×m Matrix. Aber eine Matrix kann ja keine Determinante sein?
Dann habe ich versucht die Determinanten von A und C zu berechnen und habe dies in die Determinanten Formel eingesetz :
Det(A) = [mm] \summe_{i= }^{n} sig(\pi [/mm] ) * m1, [mm] \pi [/mm] (1)*...* mn, [mm] \pi [/mm] (n). Und dasselbe für C. Ich wollte dann A*C ausrechen bzw zusammenfassen und kam dann aber leider nicht weiter.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte
LG Mariam
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Do 01.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Es seien K ein Körper, A [mm]\in[/mm] K nxn , B [mm]\in[/mm] K nxm , C [mm]\in[/mm] K
> mxm , Ai [mm]\in[/mm] K ni x ni und
> D = [mm]\pmat{ A & B \\ 0 & C }[/mm]
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> Zeigen Sie : Es gilt det (A)*det(C) = det ( D)
> Hallo ,
> Ich habe mich lange mit der Aufgabe beschäftigt und komme
> leider nicht mehr weiter. Mein Ansatz war erstmal die
> Determinante von D zu bestimmen. Da D eine 2×2 Matrix habe
> ich dies mit der Formel det(D) = AC - B*0 = A*C. Laut
> Aufgabenstellung wäre dies eine n×m Matrix. Aber eine
> Matrix kann ja keine Determinante sein?
$D$ ist eine sogenannte Blockmatrix, also eine Matrix, deren Eintraege man zu Matrizen zusammenfasst. In diesem Zusammenhang (Determinanten) muss $D$ als [mm] $(n+m)\times [/mm] (n+m)$ Matrix mit Eintraegen aus $K$ aufgefasst werden. D.h. dein zweiter Ansatz ist hier der richtige.
> Dann habe ich versucht die Determinanten von A und C zu
> berechnen und habe dies in die Determinanten Formel
> eingesetz :
> Det(A) = [mm]\summe_{i= }^{n} sig(\pi[/mm] ) * m1, [mm]\pi[/mm] (1)*...* mn,
> [mm]\pi[/mm] (n). Und dasselbe für C. Ich wollte dann A*C ausrechen
> bzw zusammenfassen und kam dann aber leider nicht weiter.
Das funktioniert, wenn deine Summe auch ganz schlecht lesbar aufbeschrieben ist: $Det(A)= [mm] \sum_{\pi\in S_{n}} sig(\pi) [/mm] * [mm] m_{1, \pi(1)}*...* m_{n,\pi(n)}$, [/mm] wobei [mm] $S_{n}$ [/mm] die symmetrische Gruppe der Ordnung $n$ ist. Diese Formel wuerde ich aber lieber auf $D$ anwenden und dann ausnutzen, dass da eine ganze Mengen $0$ als Eintraege drinstehen.
Alternativ koenntest Du auch einen Induktionsbeweis (z.B. nach $n$) versuchen und den Laplace'schen Entwicklungssatz benutzen.
> Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte
> LG Mariam
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