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Beweisstruktur von Mengen: Frage zu Beweiß
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Di 10.11.2009
Autor: ben12

Aufgabe
[mm] A\cup Y=A\cup [/mm] X und [mm] A\cap Y=A\cap [/mm] X  [mm] \Rightarrow [/mm] X=Y

Guten Tag

Nun zu meiner Frage, wie kann ich die oben Stehende Gleichung Beweißen.

Nun zu meinen Vorbetrachtungen die Gleichung stimmt, mann kann sich das mit Zahlen-Beispielen oder Geometrisch veranschaulichen. ( zb Kreiße die disjunktiv sind, zu beachten ist nur das [mm] A\cup Y=A\cup [/mm] X  nicht sofort auf X=Y abbildet, da z.b. X mehrere Elemte in A haben kann als Y. (oder umgekehrt) äquiv. mit  [mm] A\cap Y=A\cap [/mm] X )

Nun zu meiner Idde fürn Ansatz.
[mm] Aussagenlogik:(k\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] X [mm] \wedge Y)\wedge (k\in [/mm] A [mm] \vee [/mm] X [mm] \vee [/mm] Y)

könnt ihr mir bitte weiterhelfen, bitte ausführlich, damit ich die Beweißstruktur besser verstehen kann.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweisstruktur von Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Di 10.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> [mm]A\cup Y=A\cup[/mm] X und [mm]A\cap Y=A\cap[/mm] X  [mm]\Rightarrow[/mm] X=Y
>
> Nun zu meiner Frage, wie kann ich die oben Stehende
> Gleichung Beweißen.
>  
> Nun zu meinen Vorbetrachtungen die Gleichung stimmt, mann
> kann sich das mit Zahlen-Beispielen oder Geometrisch
> veranschaulichen. ( zb Kreiße die disjunktiv sind, zu
> beachten ist nur das [mm]A\cup Y=A\cup[/mm] X  nicht sofort auf X=Y
> abbildet, da z.b. X mehrere Elemte in A haben kann als Y.
> (oder umgekehrt) äquiv. mit  [mm]A\cap Y=A\cap[/mm] X )

Es gilt doch: eine Menge $X$ kannst du darstellen als $X = ((X [mm] \cup [/mm] A) [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (X [mm] \cap [/mm] A)$.

Daraus folgt dann sofort die Behauptung.

> Nun zu meiner Idde fürn Ansatz.
>   [mm]Aussagenlogik:(k\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] X [mm]\wedge Y)\wedge (k\in[/mm] A
> [mm]\vee[/mm] X [mm]\vee[/mm] Y)

Was genau willst du damit aussagen? Was soll ueberhaupt $k [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] X [mm] \wedge [/mm] Y$ bedeuten?!

Nimm dir doch ein Element $x [mm] \in [/mm] X$ und zeige, dass es in $Y$ liegt. Und dann umgekehrt ein $y [mm] \in [/mm] Y$ und zeige, dass es in $X$ liegt.

Dazu machst du jeweils eine Fallunterscheidung:

1. Fall: $x [mm] \in [/mm] A$;

2. Fall: $x [mm] \not\in [/mm] A$.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Beweisstruktur von Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:29 Di 10.11.2009
Autor: ben12

dieses k ist in etwa dieses [mm] x\in [/mm] X . ( nur damit nichtmehrere "x" in der Gleichung stehen)

Meine Aussage bed:

$ k [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] X [mm] \wedge [/mm] Y $

k ist Element von A und von X und von Y und es gilt weiterhin

es ist Element von dem Durschnitt von A und X und Element vom durschnitt von A und Y. hier umgeformt in [mm] ()\wedge (k\in [/mm] $ A
$ [mm] \vee [/mm] $ X $ [mm] \vee [/mm] $ Y)
nun gut, ich werde nun es mal mit der Fallunterscheidung versuchen. Danke

Bezug
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