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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Bezeichnung Matrix Eigenschaft
Bezeichnung Matrix Eigenschaft < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bezeichnung Matrix Eigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Mo 03.06.2013
Autor: Reduktion

Aufgabe
[mm] A:=\pmat{ a_1 & \ldots &a_1 \\ a_2 & \ldots &a_2 \\ \vdots & &\vdots\\ a_k& \ldots & a_k} [/mm]

Hallo zusammen,

trägt die Eigenschaft der Matrix [mm] M=A+A^T+\lambda I_k [/mm] mit [mm] \lambda\in\IR [/mm] einen Namen? Und erfüllt M immer die Gleichung [mm] m_{ii}+m_{jj}-2m_{ij}=2\lambda, [/mm] für [mm] i\neq [/mm] j?

        
Bezug
Bezeichnung Matrix Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:52 Di 04.06.2013
Autor: Schadowmaster

moin,

Deine Matrix $M$ ist auf jeden Fall schonmal symmetrisch.
Weiterhin ist für $i [mm] \neq [/mm] j$: [mm] $m_{ij} [/mm] = [mm] a_i [/mm] + [mm] a_j$ [/mm] und für $i=j$ kriegen wir [mm] $m_{ij} [/mm] = [mm] m_{ii} [/mm] = [mm] 2a_i [/mm] + [mm] \lambda$. [/mm]
Damit ist [mm] $m_{ii} [/mm] + [mm] m_{jj} [/mm] = [mm] 2a_i+2a_j [/mm] + [mm] 2\lambda$ [/mm] und für $i [mm] \neq [/mm] j$ gilt deine Gleichung, ja.
Ich weiß allerdings nicht, ob diese Matrizen einen besonderen Namen oder besondere Eigenschaften haben, die einen solchen rechtfertigen würden.
Spontan sind es für mich besondere symmetrische Matrizen; wenn du mehr interessante Eigenschaften findest könnte das natürlich durchaus interessant sein. ;)


lg

Schadow

Bezug
                
Bezug
Bezeichnung Matrix Eigenschaft: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:10 Di 04.06.2013
Autor: Reduktion

Aufgabe
[mm] M=\pmat{ 8 & 3 & 5\\ 3 & 10& 6\\ 5 & 6 & 14 } Q=\pmat{ -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{6} & -2/\sqrt{6}& 1/\sqrt{6}} [/mm]

Hi,

danke für die Antwort.  Eine zusätzliche Eigenschaft solcher Matrizen soll folgende sein:

Es gibt orthonormale Matrizen Q, so dass [mm] $QMQ^T=\lambda [/mm] I$, dabei ist I die Einheitsmatrix. Ein Beispiel steht im Aufgabenteil. Mir stellt sich die Frage wie Q gewählt werden muss, da die Gleichung [mm] $QMQ^T=\lambda [/mm] I$ nicht für beliebige orthonormal Matrizen Q gilt, sofern die Anzahl der Spaltenvektoren von Q kleiner gleich der von M ist.

Bezug
                        
Bezug
Bezeichnung Matrix Eigenschaft: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Do 06.06.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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